Matematika

Skaičiai nuo 0 iki 100. Mokoma(si) skaičiuoti pirmyn ir atgal nuo bet kurio skaičiaus, susieti objektų kiekį su skaičiumi. Aptariama skaičiaus ir skaitmens sąvokos, skaičių rašymo dešimtainėje pozicinėje skaičiavimo sistemoje ypatumai. Aiškinama(si), kad skaičiai užrašomi skaitmenimis. Tyrinėjama, kaip skaičių spindulyje galima pažymėti skaičius, pradedant nuo nulio. Pasitelkiant įvairius praktinius modelius, mokoma(si) skaičius perskaityti, užrašyti skaitmenimis, palyginti. Nagrinėjant pusiausvyrą iliustruojančius modelius, schemas formuojamos „lygumo“ ir „nelygumo“ sąvokų sampratos, išsiaiškinama, ką reiškia ženklai =, ≠, <, >, mokomasi praktines situacijas apibūdinti paprasčiausiomis skaitinėmis lygybėmis ar nelygybėmis.

Sudėtis ir atimtis. Sudėties ir atimties veiksmai aiškinami kaip skaičiavimas pirmyn ir atgal, aptariamas šių veiksmų ryšys (a + b - b = a, a - b + b = a; jei a - b = c, tai c + b = a). Nagrinėjami veiksmų su nuliu pavyzdžiai (a + 0 = a ir a - 0 = a). Aptariamos ir praktikuojamos įvairios skaičiavimo strategijos (būdai), kaip greičiau, mintyse skaičiuoti nuo 1 iki 20 imtinai (pavyzdžiui, ieškant trūkstamo skaičiaus iki 10; perstatant, grupuojant skaičius ir pan.). Aptariama skliaustų () ženklų paskirtis ir praktikuojamasi atlikti veiksmus su skliaustais (mokoma(si) apskaičiuoti skaitinių reiškinių, kuriuose yra apskliaustų veiksmų, reikšmes). Modeliuojant ir palyginant situacijas, prieinama prie išvados, kad skaičius galima sudėti įvairia tvarka. Nors sudėties perstatomumo (a + b = b + a) ir jungiamumo (a + (b + c) = (a + b) + c) dėsniai neįvardijami, tačiau atliekama pakankamai pratimų, kad mokiniai įgustų juos taikyti, argumentuoti skaičiavimo būdo pasirinkimą konkrečiu atveju. Mokoma(si) dviženklius skaičius užrašyti skaičiaus skaitmenų skyrių suma. Atliekami sudėties ir atimties veiksmai nuo 1 iki 100 imtinai: vienaženklių skaičių – peržengiant dešimtį, dviženklio ir vienaženklio skaičių bei dviženklių skaičių – neperžengiant šimto. Mokant(is) sudėti ir atimti skaičius, naudojami konkretūs modeliai, schemos, taikomos skaičiavimo strategijos, pagrįstos pozicine skaitmens reikšme (skaitmens vietos skaičiuje verte), sudėties savybėmis, ryšiu tarp sudėties ir atimties veiksmų (jei a - b = c, tai c + b = a). Mokoma(si) dviejų skaičių sudėties ir atimties veiksmus užrašyti ir eilute, ir stulpeliu. Atliekant skaičių sudėtį, atimtį stulpeliu, mokoma(si) paaiškinti, kodėl taip skaičiuojama. Sprendžiami ir kuriami įvairių kontekstų uždaviniai, kai, atsakant į tiesioginį klausimą, reikia atlikti vieną sudėties arba atimties veiksmą (pavyzdžiui, sužinoti, kiek yra iš viso; koks bus likutis; keliais vienetais vienas skaičius mažesnis už kitą ir pan.). Mokoma(si) lygybėse a + b = c, a - b = c nustatyti trūkstamą (nežinomą) skaičių (žymimą, pavyzdžiui, langeliu), kai kiti du skaičiai yra žinomi. Mokoma(si) tekstinius uždavinius pavaizduoti piešiniais, schemomis, lygybėmis, kuriose nežinomojo vietoje yra koks nors simbolis (pavyzdžiui, langelis).

Aptariamas pinigų vaidmuo, mokoma(si) atpažinti euro banknotus ir monetas pagal vertę, norimą pinigų sumą sudėlioti keliais skirtingais banknotų ir monetų deriniais. Nagrinėjamos situacijos, sprendžiami uždaviniai, kuriuose prašoma palyginti dviejų prekių kainas (brangesnė, pigesnė), rasti bendrą prekių kainą eurais, centais (neperžengiant euro ribos), palyginti, kiek pasikeitė turima pinigų suma, ką galima nusipirkti už turimą pinigų sumą ir pan.

Tyrinėjami objektų rinkiniai, ornamentai bei sekos, sudarytos iš 2–3 pasikartojančių objektų, narių grupių (pavyzdžiui, ABAB…; AABAAB…), mokoma(si) jas atpažinti ir apibūdinti, pratęsti, rasti trūkstamus objektus, narius. Mokoma(si) sudaryti objektų rinkinį, seką pagal nurodytą taisyklę, sukurti savo objektų rinkinį, seką. Nagrinėjamos skaičių sekos, kurių nariai didėja ar mažėja po 1, 2, 3, 5 ir 10 vienetų.

Nagrinėjami piešiniais, žodžiais, simboliais pateikti algoritmai, mokoma(si) juos atlikti. Aptariama komandos sąvoka, aiškinamasi, ką reiškia nuoseklus komandų atlikimas, mokoma(si) schema, piešiniu pavaizduoti nuosekliai atliekamų komandų seką. Įvairiuose kontekstuose mokoma(si) suprasti ir teisingai vartoti jungtukus: „ne“, „arba“, „ir“. Supažindinama su viena ar keliomis žaidybinėmis programavimo priemonėmis (pavyzdžiui, „ScratchJr“, „Bee-Bot“ ar „Blue-Bot“ robotukais, „Blockly Games“, „SpriteBox“, kortelėmis, specialiais stalo žaidimais) ir mokoma(si) jomis kurti nesudėtingas programas.

Masė, laikas. Susipažįstama su pagrindiniu masės matavimo vienetu kilogramu (kg). Atliekant įvairias praktines užduotis, mokoma(si) pajausti, kokių artimoje aplinkoje esančių daiktų masę tinka ar netinka apibūdinti šiuo matavimo vienetu, kokie prietaisai gali būti tam naudojami. Mokoma(si) suprasti, pasakyti ir užrašyti laikrodžio su rodyklėmis ir skaitmeninio laikrodžio rodomą laiką valandomis (val., h), 12 valandų ir 24 valandų laiko sistemose. Diskutuojama, išbandoma, ką galima nuveikti per valandą, trumpiau negu per valandą.

Ilgis, atstumas. Išsiaiškinama, kad objekto ilgį, atstumą tarp objektų galima išreikšti ilgio vienetų skaičiumi. Nagrinėjami ilgio ir atstumo pasireiškimo kasdieniame gyvenime pavyzdžiai (pavyzdžiui, kambario ilgis, plotis, aukštis, kelio ilgis, žmogaus ūgis, duobės gylis, atstumas nuo suolo iki lentos). Susipažįstama su ilgio (atstumo) matavimo priemonėmis – liniuote, metru, rulete. Atliekamos įvairios ilgio (atstumo) matavimo, ilgių (atstumų) palyginimo užduotys, matavimo rezultatai užrašomi sveikuoju centimetrų (cm), metrų (m) skaičiumi. Mokoma(si) be matavimo priemonių įvertinti artimiausios aplinkos daiktų ilgį, atstumą tarp objektų.

Transformacijos. Nagrinėjamos situacijos, kuriose mokoma(si) apibūdinti objektų ar žmonių vietą ar padėtį vienas kito atžvilgiu (pavyzdžiui, pasisukti kairėn ar dešinėn, pagal laikrodžio rodyklę ar prieš ją; paeiti 3 žingsnius pirmyn ar atgal). Mokoma(si) apibūdinti, schemoje pavaizduoti objektų ar žmonių judėjimą iki nurodyto objekto (pavyzdžiui, rodyklėmis schemoje parodyti, kur buvo paslėptas lobis).

Plokštumos figūros. Paaiškinama, ką vadiname brėžiniu, kuo jis skiriasi nuo piešinio. Apibūdinamos paprasčiausios geometrinės figūros: taškas ir tiesė. Mokoma(si) naudojantis tašku (-ais) ir tiese sukonstruoti spindulį, atkarpą. Mokoma(si) apibūdinti šių figūrų padėtį viena kitos atžvilgiu (pavyzdžiui, taškas yra tiesėje ar nėra tiesėje, taškas priklauso spinduliui ar nepriklauso spinduliui).

Erdvės figūros. Praktikuojamasi apibūdinti daiktų (figūrų) padėtį vienas kito atžvilgiu (dešinėje, kairėje, virš, po, už, prieš, viduryje, šalia, tarp, viduje, išorėje, priešais ir pan.), kaip daiktai (figūros) atrodo iš priekio, iš šono, iš viršaus.

Aiškinama(si), ką vadiname duomenimis ir kuriuo tikslu jie renkami. Mokoma(si) formuluoti klausimus apie kasdienius gyvenimo įvykius, į kuriuos atsakymą padėtų rasti atliktas statistinis tyrimas (surenkama iki 20 vnt. duomenų). Aiškinama(si), ką vadiname požymiu ir jo reikšmėmis, mokoma(si) registruoti renkamus duomenis, kai yra 2–3 stebimo požymio reikšmės. Surinkti duomenys (iki 20 vnt.) pavaizduojami piktograma ar stulpeline diagrama (vertikalia ar horizontalia), kai simbolis ar padala atitinka vienetą (vieną stebinį). Mokoma(si) interpretuoti piktogramoje, stulpelinėje diagramoje pateikiamą informaciją, ja remtis, atsakant į statistinio tyrimo klausimą.

2 klasė

Skaičiai nuo 0 iki 1000. Nagrinėjami skaičiai iki 1000, skaičiuojama pirmyn ir atgal nuo bet kurio skaičiaus. Aiškinama(si), kad triženklio skaičiaus šimtai, dešimtys ir vienetai užrašomi skaitmenimis. Pasitelkiant įvairius praktinius modelius, manipuliatorius, mokoma(si) skaičius perskaityti, užrašyti skaitmenimis, skyrių suma, palyginti.

Sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba. Mokantis nuo 1 iki 1000 imtinai sudėti ir atimti skaičius (peržengiant dešimtį, šimtą), naudojami konkretūs modeliai ar brėžiniai, skaičiavimo strategijos, pagrįstos dešimtaine pozicine skaičių rašymo tvarka, operacijų savybėmis, ryšiu tarp sudėties ir atimties veiksmų. Mokoma(si) taikyti mintinio skaičiavimo strategijas sudėties ir atimties veiksmams, kai yra apvalios dešimčių, šimtų reikšmės. Sprendžiami vieno dviejų žingsnių sudėties ar atimties veiksmo reikalaujantys uždaviniai, kuomet reikia atsakyti į tiesioginį ar netiesioginį klausimą. Įvairiais modeliais iliustruojama daugyba ir dalyba (pavyzdžiui, dirbama su vienodomis objektų grupėmis, eilučių ir stulpelių rinkiniais, daugybos lentele), aptariamas šių veiksmų ryšys. Nagrinėjami daugybos ir dalybos veiksmų su vienetu pavyzdžiai (a ⋅ 1 = a ir a : 1 = a). Tyrinėjama, kaip sudaryta daugybos lentelė (10 × 10). Aptariamos sąvokos: lyginis skaičius, nelyginis skaičius. Nagrinėjant konkrečius daugybos ir dalybos pavyzdžius, aptariami su nuliu atliekami veiksmai (a ⋅ 0 = 0 ir 0 : a = 0, čia a ≠ 0). Modeliuojant situacijas, aptariami daugybos perstatomumo (a ⋅ b = b ⋅ a) ir jungiamumo (a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c) dėsniai (dėsnių pavadinimai neįvardijami), sudaromi dviveiksmiai skaitiniai reiškiniai, pagrindžiant juose atliekamų veiksmų tvarką. Sprendžiami vieno žingsnio uždaviniai, kuomet reikia atsakyti į tiesioginį klausimą, taikant daugybos ar dalybos veiksmą (pavyzdžiui, imama n kartų po m, kiek kartų skiriasi, dvigubai, trigubai daugiau ar mažiau, dalijama į lygias grupes ir kt.). Mokoma(si) skaičių daugybą užrašyti eilute, stulpeliu, dalybą – eilute, kampu. Prieš sprendžiant tekstinį uždavinį, jis analizuojamas, pavaizduojamas schema, piešiniu. Mokoma(si) uždavinio sprendimą užrašyti kaip klausimų ir atsakymų seką. Aiškinama(si), kaip įvairias asmeninio konteksto situacijas sieti skaitinėmis lygybėmis ir nelygybėmis, kuriose yra vienas sudėties, atimties, daugybos arba dalybos veiksmo ženklas. Mokoma(si) paaiškinti, kodėl užrašyta skaitinė lygybė (ženklas =) ar nelygybė (ženklai <, >) yra teisinga ar klaidinga, taip pat parinkti skaičius, su kuriais skaitinė lygybė ar nelygybė būtų teisinga.

Vienetas (visuma), pusė, trečdalis, ketvirtadalis, aštuntadalis. Pasitelkiant įvairius modelius, aiškinama(si) sąvokų prasmė: vienetas (visuma), pusė, trečdalis, ketvirtadalis, aštuntadalis (neužrašant jų kaip trupmenų). Įsitikinama, kad vienetą (visumą) sudaro dvi pusės, trys trečdaliai ir t. t. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose prašoma surasti vieno daikto ar kelių daiktų pusę, trečdalį, ketvirtadalį, aštuntadalį ir atvirkščiai.

Mokoma(si) tą pačią pinigų sumą išreikšti įvairiais banknotų, monetų, banknotų ir monetų deriniais, įvardyti, kurią euro dalį sudaro 50 ct. Sprendžiami uždaviniai, nagrinėjamos situacijos apie prekės ar paslaugos kainos padidėjimą, sumažėjimą (pabrangimą, atpigimą), nuolaidos pritaikymą, kai kainos užrašomos eurais ir centais.

Sekos. Tyrinėjamos sekos iš 3–4 pasikartojančių narių, taip pat tokios skaičių sekos, kurių nariai didėja ar mažėja po tiek pat vienetų, tiek pat kartų. Mokoma(si) jas atpažinti, apibūdinti, pratęsti, rasti trūkstamus narius, sukurti, sudaryti pagal nurodytą taisyklę.

Pasitelkus konkrečius pavyzdžius, aiškinama(si) paprasčiausia pasirinkimo komanda. Nagrinėjami piešiniais, žodžiais, simboliais pateikti algoritmai, mokoma(si) įvykdyti nurodytą komandų seką, kurioje gali būti ir pasirinkimo komandų. Žaidybinėmis programavimo priemonėmis kuriamos nesudėtingos programos, sudarytos iš kelių komandų.

Masė, laikas, temperatūra. Susipažįstama su masės matavimo vienetais gramu (g) ir tona (t), aptariami g ir kg, kg ir t sąryšiai. Diskutuojama, kokiais vienetais tiktų apibūdinti įvairių aplinkos daiktų masę. Išbandomos įvairios buitinės priemonės masei iki kilogramo nustatyti. Remiantis laikrodžiu ar jo modeliu, mokoma(si) nusakyti laiką minutės (min., min) tikslumu, tą patį laiką pasakyti keliais būdais (pavyzdžiui, 10 val. 50 min. arba be 10 minučių 11-ta valanda, pusvalandis po pusiaudienio ir pan.). Tyrinėjant lauko termometro skalę, aptariama, kokia temperatūra rodo šilumą, šaltį. Aiškinama(si), kokiais matavimo vienetais matuojama temperatūra (°C).

Ilgis, plotas, talpa. Aptariama, kad atkarpos gali būti skirtingo ilgio ir kam reikalingi skirtingi matavimo vienetai. Supažindinama su milimetru (mm) ir kilometru (km). Nagrinėjami mm ir cm, cm ir m, m ir km sąryšiai. Mokoma(si) nubraižyti ir išmatuoti, taip pat iš akies įvertinti (spėti) atkarpų ilgius, išreiškiamus cm ir mm. Mokoma(si) palyginti atkarpas. Sprendžiami įvairūs su ilgio skaičiavimais susiję tekstiniai uždaviniai. Mokoma(si) figūros plotą nusakyti sąlyginiais matavimo vienetais (pavyzdžiui, figūrą sudarančių langelių skaičiumi) ir taip įvertinti, apibūdinti aplinkoje esančių daiktų plotą. Talpos sąvoka paaiškinama, atliekant praktines veiklas, lyginant kasdieninėje aplinkoje naudojamų objektų talpas. Aptariamos sąvokos: litras (L, l), mililitras (ml); jos taikomos, mokantis įvertinti aplinkos daiktų talpą.

Transformacijos. Languotame popieriuje kuriami tam tikrą vietą vaizduojantys planai (pavyzdžiui, kambario, sklypo, vietovės planas), mokoma(si) duoti ir vykdyti kelių žingsnių instrukciją, susijusią su judėjimu tame plane. Nagrinėjamos figūros, turinčios simetrijos ašį (-is), mokoma(si) užbaigti ar sukurti ašies atžvilgiu simetrišką piešinį languotame ar taškuotame popieriuje, kai pavaizduota vertikali arba horizontali simetrijos ašis. Aptariama, ką vadiname figūros simetrijos ašimi, simetrijos ašį (-is) turinčių figūrų pavyzdžių ieškoma aplinkoje, gamtoje, architektūroje, mene. Mokoma(si) paaiškinti, kodėl nagrinėjama figūra yra simetriška arba nėra simetriška.

Plokštumos figūros. Aiškinama(si), kokios figūros vadinamos plokštumos (plokščiosiomis) figūromis (dvimatėmis, užimančiomis plokštumos dalį). Aptariamos sąvokos: atvira laužtė, uždara laužtė, kampas, daugiakampis, daugiakampio kraštinė, daugiakampio viršūnė, daugiakampio kampas. Tyrinėjant konkretų daugiakampį, įsitikinama, kad jis turi tiek kampų, kiek ir kraštinių. Praktikuojamasi rūšiuoti daugiakampius pagal kraštinių arba kampų skaičių, kraštinių ilgius, simetrijos ašių skaičių ir pan. Apibrėžiama taisyklingojo daugiakampio sąvoka, tyrinėjant atrandama, kad taisyklingieji daugiakampiai turi simetrijos ašis. Nagrinėjant pavyzdžius, aptariamos sąvokos: teiginys, teisingas teiginys, klaidingas teiginys, priešingas teiginys. Mokoma(si) formuluoti paprasčiausiems matematiniams teiginiams priešingus teiginius.

Erdvės figūros. Aiškinama(si), kokios figūros vadinamos erdvės figūromis (trimatėmis, užimančiomis erdvės dalį). Pasitelkiant vaizdines priemones, tiriami ryšiai tarp dvimačių ir trimačių figūrų. Susipažįstama su kubo, stačiakampio gretasienio, kūgio, ritinio, rutulio modeliais. Mokoma(si) juos atpažinti paveikslėlyje, rasti į juos panašių daiktų aplinkoje.

Aiškinama(si), ką vadiname pirminiais ir antriniais duomenimis. Mokoma(si) formuluoti statistinio tyrimo klausimus, į kuriuos atsakyti padėtų duomenų dažnių lentelė. Aptariama, kaip sudaryti ir užpildyti dažnių lentelę. Mokoma(si) braižyti stulpelines diagramas, naudojantis fizinėmis priemonėmis, kai piktogramos simbolis ar diagramos padala atitinka 2, 5, 10 vienetų (stebinių). Praktikuojama(si) pavadinti diagramą ir jos ašis, susieti dažnių lentelėje ir stulpelinėje diagramoje esančius duomenis, atsakyti į klausimą, kurio atsakymo ieškant surinkti duomenys.

3–4 klasių koncentras

3 klasė

Skaičiai nuo 0 iki 10 000. Mokoma(si) skaičius iki 10 000 perskaityti, užrašyti žodžiais, skaitmenimis, skyrių suma, palyginti ir apvalinti.

Sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba. Praktikuojama(si) taikyti mintinio skaičiavimo strategijas. Nagrinėjamos įvairios kontekstinės situacijos, kuriose būtų prasminga ir veiksminga įvertinti tikėtiną kelių skaičių sumos, skirtumo, sandaugos rezultatą (prieš atliekant veiksmus, skaičiai apvalinami; remiamasi veiksmų dėsniais). Nagrinėjamos gyvenimiškos situacijos, kuomet tenka dalyti su liekana. Atliekami daugybos ir dalybos veiksmai su pilnas dešimtis, šimtus ir tūkstančius turinčiais skaičiais. Mokantis padauginti ar padalyti dviženklį, triženklį, keturženklį skaičių iš vienaženklio skaičiaus (įskaitant ir dalybą su liekana), pasitelkiami įvairūs vizualizavimo ir sprendimo užrašymo būdai. Modeliuojamos situacijos, kuriose išryškėja skliaustų naudojimo prasmė. Mokoma(si) uždavinio sąlygą pavaizduoti schema, schemą susieti su dviveiksmiu skaitiniu reiškiniu, kuriame gali būti ir skliaustai. Sprendžiami kelių žingsnių uždaviniai, kuomet atliekami keli veiksmai, gali tekti smulkinti ar stambinti gretimus matavimo vienetus. Nagrinėjant situacijas, mokinių dėmesys atkreipiamas ir į bendrą problemų sprendimo procesą, diskutuojama apie įvairių problemų sprendimo strategijų taikymą.

Trupmenos. Naudojantis modeliais, piešiniais, išsiaiškinama, kad kai visuma padalijama į n lygių dalių (n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100) ir paimama viena tos visumos dalis, tai daliai apibūdinti pasitelkiame skaičius, kurie vadinami trupmeniniais. Aptariant trupmenos, skaitiklio, vardiklio, trupmenos brūkšnio sąvokas, išsiaiškinama trupmenos \( \frac{m}{n} \) prasmė, kai skaičius m yra ne didesnis negu skaičius n. Mokoma(si) trupmenas (neviršijančias skaičiaus 1) pavaizduoti skaičių spindulyje. Mokoma(si) neviršijančias skaičiaus 1 trupmenas \( \frac{m}{n} \) su vienodais vardikliais arba skaitikliais palyginti (naudojantis modeliais, pavaizduojant jas tame pačiame skaičių spindulyje); skaičius 0 ir 1 užrašyti kaip trupmenas \( \frac{0}{n} \) ir \( \frac{n}{n} \) ; paaiškinti, kokios dvi trupmenos ir kodėl laikomos lygiomis (lygiavertėmis) (pavyzdžiui, \(\frac12=\frac24, \frac48=\frac12\). Sprendžiami dalies ir visumos radimo uždaviniai.

Sprendžiami uždaviniai, kai mokinių naujai įgyti skaičiavimo įgūdžiai taikomi įvairiose su pinigų naudojimu susijusiose situacijose (pavyzdžiui, pinigų smulkinimo ar stambinimo, prekių ir paslaugų kainų arba jų pokyčių skaičiavimo ir kt.).

Pratęsiamos, apibūdinamos sekos, sudarytos iš 2–4 pasikartojančių narių grupių, įskaitant ir tokias, kurių elementai skiriasi dydžiu, spalva, linijos storiu, posūkio kampu, o seka gali būti perkelta ir į kitą eilutę. Mokoma(si) fizinėmis ir skaitmeninėmis priemonėmis kurti ir pristatyti sekas.

Pasitelkus konkrečius pavyzdžius, aiškinama(si) pasirinkimo komanda (jei [...], tai [...]). Mokoma(si) įvykdyti nurodytų komandų seką, kurioje yra pasirinkimo komanda. Aptariamos sąvokos: algoritmas, programa. Nagrinėjant konkrečius pavyzdžius, įsitikinama, kad algoritme ir programoje svarbi komandų atlikimo tvarka, kad gali būti keletas teisingų algoritmų tam pačiam rezultatui gauti. Mokoma(si) uždavinio sprendimo algoritmą užrašyti sutartiniais ženklais, pavaizduoti schemomis (pavyzdžiui, iš turimų fizinių objektų sudėlioti ar nupiešti tam tikrą geometrinę figūrą; naudojantis pateiktais ar savo gautais duomenimis, apskaičiuoti nueitą kelią, laiką, greitį; pereiti labirintą; sukurti žaidimų instrukcijas, taisykles, receptus ir kt.).

Lygtys. Nagrinėjant pavyzdžius, aptariamos sąvokos: lygtis, lygties nežinomasis, lygties sprendinys. Išbandomi ir atrandami įvairūs paprasčiausių lygčių (su vienu sudėties, atimties, daugybos ar dalybos veiksmu; nežinomojo vietoje – raidės) sprendinio radimo metodai, įskaitant ir kitos lygties (su atvirkštiniu veiksmu) parašymą (pavyzdžiui, lygtis x − 5 = 2 pakeičiama lygtimi x= 5 + 2, t. y. mokoma(si) su tais pačiais trimis skaičiais bei sudėties ir atimties arba daugybos ir dalybos veiksmų ženklais parašyti keturias lygybes (pavyzdžiui, 2 + 3 = 5, 3 + 2 = 5, 5 − 2 = 3, 5 − 3 = 2). Aptariama, kuo lygties sprendimo procedūra skiriasi nuo lygties sprendinio patikrinimo procedūros. Mokoma(si) iš žodinio uždavinio sąlygos ar pateiktos schemos sudaryti paprasčiausią lygtį, kai nežinomasis nurodytas uždavinio sąlygoje ar schemoje, taikyti įvairius būdus lygties sprendiniui (nežinomojo reikšmei) apskaičiuoti.

Raidiniai reiškiniai. Nagrinėjant pavyzdžius, aptariamos sąvokos: raidinis reiškinys, raidinio reiškinio reikšmė. Mokoma(si) apskaičiuoti raidinio reiškinio reikšmę, kai nurodyta raidės reikšmė. Aptariama, kaip iš žodinio uždavinio sąlygos sudaryti raidinį reiškinį.

Laikas. Apskaičiuojant laiko trukmę, mokoma(si) naudotis tvarkaraščiu, kalendoriumi. Susipažįstama su laiko matavimo vienetu sekunde (s, sek.). Mokoma(si) smulkinti ir stambinti laiko matavimo vienetus (val., h; min., min; sek., s), įskaitant ir trupmenų taikymą (pavyzdžiui, \( \frac{1}{4} \) val.\ = 15 min.).

Ilgis. Išsiaiškinama, koks ilgio matavimo vienetas vadinamas decimetru (dm), aptariami dm ir cm, dm ir m sąryšiai. Išsiaiškinama, ką vadiname perimetru. Praktikuojamasi apskaičiuoti daugiakampio perimetrą. Mokoma(si) smulkinti ir stambinti gretimus ilgio matavimo vienetus.

Transformacijos. Atliekami praktiniai darbai, ieškoma tiesės atžvilgiu simetriškų figūrų (pavyzdžiui, sulenkus popierių, sutampa atvaizdai; languotame ar taškuotame popieriuje atvaizduojama figūrai simetriška figūra). Mokoma(si) paaiškinti, kodėl pavaizduotos figūros yra arba nėra simetriškos viena kitai tiesės atžvilgiu. Iš turimų objektų kuriami ornamentai, ieškoma trūkstamų ornamento dalių. Mokoma(si) atpažinti objekto postūmį (lygiagretųjį postūmį) horizontalia ar vertikalia kryptimi nurodytu langelių skaičiumi.

Plokštumos figūros. Supažindinama su kampainiu. Apibūdinama, kokios tiesės, atkarpos vadinamos lygiagrečiomis, statmenomis, susikertančiosiomis. Praktikuojamasi atpažinti, nubrėžti statųjį, smailųjį, bukąjį kampus, statmenas ir lygiagrečiąsias tieses, kvadratą, stačiakampį. Išsiaiškinama, kokie kampai vadinami lygiais kampais ir praktikuojamasi palyginti kampus. Apibrėžiamos sąvokos: apskritimas; skritulys; apskritimo (skritulio) centras, spindulys, skersmuo. Praktikuojamasi skriestuvu nubrėžti apskritimą. Tyrinėjama, kokia galima dviejų apskritimų, apskritimo ir tiesės tarpusavio padėtis (susikerta, liečiasi, nesikerta). Atliekamos plokštumos figūrų grupavimo, rūšiavimo užduotys. Praktikuojamasi suskaidyti plokščiąją figūrą į dalis ar sujungti kelias figūras; mokoma(si) pastebėti, atsirinkti, atrasti trūkstamas ornamento, dėlionės dalis.

Erdvės figūros. Nagrinėjamas kubas, stačiakampis gretasienis, mokoma(si) pavadinti ir parodyti jų viršūnes, sienas, briaunas. Aiškinama(si), kaip atrodo kubo ir stačiakampio gretasienio išklotinė. Nagrinėjama prizmė, piramidė; aiškinama(si), nuo ko priklauso konkrečios prizmės ar piramidės pavadinimas, kaip atrodo jų išklotinės. Mokoma(si) parodyti šių figūrų viršūnes, briaunas, sienas ir jų pagrindą (-us). Praktikuojamasi suskaidyti erdvės figūrą į dalis ar sujungti kelias figuras.

Mokoma(si) kelti su artima aplinka susijusius klausimus, į kuriuos atsakyti galima surinkus ir susisteminus duomenis, naudojant stulpelines diagramas su skirtingos vertės padalomis. Mokoma(si) rūšiuoti duomenis pagal nurodytą požymį. Nagrinėjant konkrečius pavyzdžius, aptariama, kaip suprasti stulpelines diagramas, kurių dažnių ašies vienos padalos vertė nėra lygi vienetui, o stulpelio aukštis (požymio reikšmės dažnis) nebūtinai sutampa su pažymėta padala. Mokoma(si) pasirinkti tinkamą diagramos dažnių ašies padalos vertę. Praktikuojamasi atsakyti į klausimą, kurio atsakymo ieškant surinkti duomenys.

Kalbant apie kasdienius įvykius, mokoma(si) parinkti tinkamiausią žodį to įvykio tikėtinumui nusakyti (negalimas, mažai tikėtinas, labai tikėtinas, būtinas; niekada, kartais, dažnai, visada) ar įvykiams palyginti pagal jų tikėtinumą (vienodai tikėtina, labiau ar mažiau tikėtina).

4 klasė

Skaičiai nuo 0 iki 1 000 000. Nagrinėjami realaus turinio tekstai, kuriuose paminėti dideli skaičiai, įskaitant ir jų trumpinius (tūkst., mln.), aptariama jų prasmė. Mokoma(si) skaičius perskaityti, užrašyti žodžiais, skaitmenimis, skyrių suma, apvalinti, palyginti.

Sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba. Praktikuojamasi taikyti mintinio skaičiavimo strategijas. Vizualizuojami, pagrindžiami ir taikomi sudėties ir atimties stulpeliu veiksmai, daugybos stulpeliu iš dviženklio skaičiaus, veiksmai. Mokoma(si), ieškant atsakymų į klausimus, iš perteklinės informacijos turinčio pranešimo atsirinkti reikiamą informaciją. Mokoma(si) kelti, kurti prasmingus klausimus, į kuriuos būtų galima atsakyti, remiantis matematiniame pranešime slypinčia informacija. Sprendžiami kelių žingsnių uždaviniai, kuomet reikia atsakyti į netiesioginį klausimą, o atsakant į jį reikia taikyti sudėties, atimties, daugybos, dalybos veiksmus, sudaryti skaitinius reiškinius, kuriuose gali būti ir skliaustai.

Trupmenos. Mokoma(si) natūralųjį skaičių užrašyti trupmena, kurios vardiklis lygus 1. Apibrėžiama mišriojo skaičiaus sąvoka. Mokoma(si) mišriuosius skaičius perskaityti, palyginti, apvalinti iki sveikojo skaičiaus. Trupmenas \( \frac{m}{n} \) , kurių vardiklyje yra 10, 100, 1000, mokoma(si) užrašyti dešimtainiais skaičiais (su kableliu). Nagrinėjant situacijas su matiniais skaičiais, aiškinama(si), kaip suvienodinti skaitmenų skaičių po kablelio (pavyzdžiui, kodėl 1,5 Eur \ = 1,50 Eur).

Veiksmai su trupmenomis. Mokomasi sudėti ir atimti trupmenas su vienodais vardikliais (\( \frac{m}{n} \) , kai m ≤ n, n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100; trupmenų suma neviršija skaičiaus 1). Aiškinama(si), kaip sudedami ir atimami mišrieji skaičiai, kurių trupmeninės dalys yra su tuo pačiu vardikliu (trupmenines dalis sudėjus, neviršijamas vienetas, o atimant nereikalaujama papildomų pertvarkų). Mokoma(si) sudėti ir atimti dešimtainius skaičius su vienu ar dviem skaitmenimis po kablelio.

Tyrinėjamos situacijos, kuomet prekių ir paslaugų kainos užrašytos dešimtainiais skaičiais. Mokoma(si) tokiais skaičiais nurodytas pinigų sumas perskaityti, palyginti, sudėti ir atimti. Nagrinėjamos situacijos, kuriose mokoma(si) priimti skaičiavimais grįstus sprendimus (pavyzdžiui, uždarbį, išlaidas, aukojimą, taupymą ir pan.) ir jų įtaką artimai ir (ar) globaliai aplinkai. Aiškinama(si), kaip asmuo gali įvertinti, ar kaina yra priimtina pagal (jo ar jo šeimos) finansines galimybes.

Pratęsiamos, apibūdinamos, kuriamos sekos, kurių nariai yra trupmenos arba dešimtainiai skaičiai. Nagrinėjamos objektų sekos, kai kiekvieną kitą sekos objektą sudaro vis daugiau ir (ar) mažiau elementų, kurie nebūtinai išdėstomi vienoje eilėje. Tyrinėjamos sekos, gautos suliejus dvi sekas (pavyzdžiui, 1, 90, 3, 80, 5, 70, 7, 60).

Pasitelkus konkrečius pavyzdžius, aiškinama(si) kartojimo komanda. Sprendžiami įvairūs uždaviniai, kuriuose reikia atlikti nuoseklių komandų sekas, įskaitant ir pasirinkimo bei kartojimo komandas. Susipažįstama su uždavinio skaidymo į dalis strategija, mokoma(si) ją įgyvendinti, kuriant pasirinkimo ir kartojimo komandų sekas.

Lygtys. Mokoma(si) sudaryti paprastas lygtis iš žodinio uždavinio sąlygos ar schemos, kuriose yra nurodytas nežinomasis. Nagrinėjamos tą pačią lygtį atitinkančios situacijos, mokoma(si) situaciją aprašyti skirtingomis lygtimis.

Raidiniai reiškiniai. Mokoma(si) paprastais atvejais tarpusavyje sieti žodinio uždavinio sąlygą, situaciją iliustruojančią schemą ir raidinį reiškinį.

Masė, laikas, temperatūra, greitis. Mokoma(si) suprasti rodmenis įvairiuose matavimo prietaisuose (svarstyklėse, laikrodžiuose, termometruose, odometruose). Aptariama kelio ir greičio sąvokos; kelio, laiko, greičio (vidutinio greičio) sąryšis. Praktikuojamasi taikyti įvairius greičio matavimo vienetus (km/h; m/min; m/s), apskaičiuoti kelią, greitį ar laiką, kai du iš jų žinomi.

Plotas, tūris. Apibrėžiami kvadratinis centimetras (\(\text{cm}^2\)) ir kvadratinis metras (\(\text{m}^2\)). Mokoma(si) apskaičiuoti kvadrato, stačiakampio plotą ir iš kvadratų bei stačiakampių sudarytų figūrų plotus. Aptariama tūrio sąvoka. Aiškinama(si), kad statinio tūrį galima apibūdinti statinį sudarančių kubelių skaičiumi, mokoma(si) tai padaryti. Apibrėžiami tūrio matavimo vienetai kubinis centimetras (\(\text{cm}^3\)), kubinis metras (\(\text{m}^3\)), mokoma(si) suvokti, kokiais vienetais tinka apibūdinti objektus iš artimos aplinkos.

Transformacijos. Nagrinėjat tokius žaidimus kaip šaškės, „Laivų mūšis“ ar šachmatai, aiškinama(si), kad žaidimo lentos langelio (jame esančios figūros) padėtis nusakoma raidės ir skaičiaus pora. Aiškinama(si), kad daikto vietą plokštumoje galima apibūdinti ir dviejų skaičių pora (iš pradžių nurodant stulpelį, o tada eilutę; skaičiuoti stulpelyje ar eilutėje visada pradedama nuo kairiojo apatinio kampo). Toks būdas tinka ne tik objekto vietai languotame popieriuje nurodyti, bet ir apibūdinti, kaip objektas juda plokštumoje. Tuo įsitikinama, žaidžiant fizinius ar virtualius žaidimus, diskutuojant apie objektų judėjimą pietų, šiaurės, rytų, vakarų kryptimis. Languotame popieriuje piešiami ornamentai, jų fragmentai ir mokoma(si) juos apibūdinti, vartojant matematinius terminus. Mokoma(si) atpažinti objekto posūkį apie duotą tašką nurodyta kryptimi (pavyzdžiui, atpažinti, kad objektas buvo pasuktas stačiuoju kampu prieš laikrodžio rodyklę).

Plokštumos figūros. Aptariama, kokios geometrinės figūros laikomos lygiomis (uždėtos viena ant kitos, jos sutampa), mokoma(si) jas atpažinti. Apibrėžiamos ir vartojamos sąvokos: įvairiakraštis trikampis, lygiašonis trikampis, lygiakraštis trikampis; smailusis trikampis, statusis trikampis, bukasis trikampis. Mokoma(si) atpažinti ir pavaizduoti tokius trikampius.

Erdvės figūros. Aptariama, kodėl kubą galima laikyti ypatingu stačiakampio gretasienio atveju ir kodėl šias abi figūras galima pavadinti keturkampėmis prizmėmis. Praktikuojamasi rūšiuoti, konstruoti kubus, stačiakampius gretasienius, prizmes, piramides, ritinius ir kūgius, atpažinti ir įvardyti jų sienas, briaunas, viršūnes. Mokoma(si) susieti erdvės figūrą su jos išklotine, apibūdinti, kaip erdvės figūra atrodo iš įvairių pusių (iš viršaus, apačios, kairės, dešinės).

Mokoma(si) kelti statistinius klausimus, į kuriuos atsakyti galima surinkus ir susisteminus duomenis apie artimą aplinką, naudojant linijines ir skritulines diagramas. Planuojamas ir atliekamas statistinis tyrimas, mokoma(si) perskaityti linijinėje, skritulinėje diagramoje pateikiamą informaciją, ja remtis, atsakant į klausimus. Mokoma(si) pasirinktu būdu pristatyti tyrimo rezultatus, papasakoti, ką norėta tyrimu išsiaiškinti, kokie rezultatai gauti, ką įdomaus ir naudingo mokinys išmoko, sužinojo. Diskutuojama apie savo ar kitų mokinių atlikto tyrimo išvadas, jų pritaikymą.

Nagrinėjami žaidimai su keliomis vienodai ir nevienodai galimomis 2–6 baigtimis (pavyzdžiui, monetos ar kauliuko metimas, suktuko sukimas ir pan.). Aptarus bandymo (stochastinio bandymo) ir baigties sąvokas, mokoma(si) aprašyti visas galimas baigtis ir svarstoma, kuri iš baigčių labiau, mažiau ar vienodai tikėtina. Atliekant eksperimentą (pavyzdžiui, žaidimą kartojant 10, 20 kartų ir skaičiuojant baigties pasirodymo dažnį) tikrinama, ar pasitvirtino spėjimo rezultatas, aptariama kodėl. Mokoma(si) formuluoti, vertinti teiginius apie baigčių tikėtinumą. Kiekvienos baigties tikimybė užrašoma intervalo [0; 1] skaičiumi. Kuriami žaidimai, kad kiekvienas žaidžiantysis turėtų tą pačią tikimybę (galimybę) laimėti.

5–6 klasių koncentras

5 klasė

Natūralieji skaičiai. Nagrinėjami romėnų skaitmenų ir skaičių rašymo pavyzdžiai, mokoma(si) perskaityti ir užrašyti romėniškuosius skaičius iki 3000. Aptariama, kokia skaičiavimo sistema vadinama dešimtaine, pozicine. Apibendrinami natūraliųjų skaičių apibūdinimo būdai (vaizduojant skaičių tiesėje, užrašant skaitmenimis, skyrių suma, žodžiais, vartojant trumpinius tūkst., mln., mlrd., …). Mokoma(si) natūraliuosius skaičius palyginti, apvalinti, naudojant ne tik skaičių tiesės modelį, bet ir pagrindžiant bei taikant kitus skaičiams palyginti ir apvalinti taikomus metodus (pavyzdžiui, atsižvelgiant į pozicinę skaitmens reikšmę (skaitmens vietą skaičiuje), kai juos norima palyginti). Nagrinėjamos įvairios situacijos, kai taikoma apvalinimo taisyklė.

Veiksmai su natūraliaisiais skaičiais. Įsitikinama, kad veiksmams su natūraliaisiais skaičiais galioja sudėties ir daugybos perstatomumo bei jungiamumo, skirstomumo, sudėties su nuliu, daugybos iš vieno dėsniai (veiksmų savybės). Šie dėsniai užrašomi ir raidinėmis išraiškomis. Mokoma(si) padalyti iš dviženklio skaičiaus. Praktikuojamasi naudotis patogiais skaičiavimo metodais (mintinio skaičiavimo strategijomis), siekiant palengvinti skaičiavimus. Sprendžiami įvairaus konteksto probleminiai uždaviniai, kuomet reikia surasti, atsirinkti skaitinę informaciją, išskaidyti uždavinį į dalis, performuluoti uždavinį, taikyti kelis veiksmus, sudaryti skaitinį reiškinį. Mokoma(si) įvardyti atliekamų veiksmų komponentus. Mokoma(si) atpažinti skaičius, kurie dalijasi iš 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100. Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus daliklis, skaičiaus kartotinis; pirminis skaičius, sudėtinis skaičius; lyginis skaičius, nelyginis skaičius. Mokoma(si) atrinkti skaičius iš nurodyto nedidelio skaičių intervalo, kad šie skaičiai atitiktų nurodytą požymį ar kriterijų. Nagrinėjamos situacijos, kuriose sudėtinį skaičių skaidome pirminiais dauginamaisiais, tyrinėjami įvairūs skaičiaus skaidymo pirminiais dauginamaisiais būdai. Sprendžiami probleminiai uždaviniai, kai reikia rasti kelių skaičių (mažiausią) bendrąjį kartotinį, (didžiausią) bendrąjį daliklį.

Trupmenos. Nagrinėjamos trupmenos \( \frac{m}{n} \) , kurių skaitiklyje ir vardiklyje gali būti bet koks natūralusis skaičius. Apibrėžiamos sąvokos: taisyklingosios trupmenos, netaisyklingosios trupmenos; mokoma(si) iš netaisyklingosios trupmenos išskirti sveikąją dalį, mišrųjį skaičių užrašyti netaisyklingąja trupmena. Praktikuojamasi suprastinti, pertvarkyti, palyginti, suapvalinti trupmenas. Mokoma(si) trupmenas, kurių vardiklyje yra 10, 100, 1000, … , užrašyti dešimtainiu skaičiumi (su kableliu) ir atvirkščiai. Praktikuojamasi dešimtainius skaičius perskaityti, užrašyti žodžiais, skaitmenimis, skyrių suma, pavaizduoti skaičių tiesėje, palyginti, apvalinti.

Veiksmai su trupmenomis. Praktikuojamasi sudėti ir atimti mišriuosius skaičius, kurių trupmeninės dalys išreikštos trupmenomis su skirtingais vardikliais ir kai trupmeninių dalių suma peržengia vienetą. Trupmenos \( \frac{m}{n} \) daugyba iš natūraliojo skaičiaus apibrėžiama kaip tokių pačių trupmenų sumavimas. Naudojant vaizdinius modelius, išsiaiškinama, kodėl bendruoju atveju yra teisinga lygybė c ⋅ (a : b) = (c ⋅ a) : b ir kodėl trupmenoms gali būti taikomi perstatomumo, jungiamumo, skirstomumo, daugybos iš nulio ir vieneto dėsniai (veiksmų savybės). Pagrindžiami su trupmenomis \( \frac{m}{n} \) , mišriaisiais skaičiais atliekami sudėties, atimties, daugybos iš natūraliojo skaičiaus veiksmai. Jie taikomi, sprendžiant praktinio turinio uždavinius. Paaiškinama, kad veiksmams su dešimtainiais skaičiais galioja nagrinėti trupmenų dėsniai, jiems galima pritaikyti dešimtainę pozicinę skaičiavimo sistemą ir atlikti veiksmus panašiai kaip su sveikaisiais skaičiais. Apibrėžiama procento sąvoka, mokoma(si) ją taikyti, sprendžiant skaičiaus (dydžio) dalies ar visumos radimo uždavinius; skaičiaus nurodytu procentų skaičiumi padidėjimo ar sumažėjimo uždavinius.

Procento sąvoka taikoma, sprendžiant uždavinius apie pirkimą, pardavimą, nuolaidas (skaičiuotuvu nesinaudojama).

Nagrinėjamos skaičių sekos, kurių kiekvienas kitas narys gaunamas iš prieš jį esančio, atliekant vieną ir tą patį veiksmą (ar kelis veiksmus). Nagrinėjamos lentelės, kuriomis vaizduojami ryšiai tarp skaičių (įvesties ir (ar) išvesties; I ir (ar) O) lentelės ir mokoma(si) šį ryšį apibūdinti, taikyti.

Lygtys. Įsitikinama, kad skaitinėms lygybėms būdingos savybės:

jeigu a = b, tai b = a;

jeigu a = b ir b = c, tai a = c;

jeigu a = b, tai a + c = b + c;

jeigu a = b, tai a-c = b-c;

jeigu a = b, tai a ⋅ c = b ⋅ c;

jeigu a = b ir c ≠ 0, tai a : c = b : c.

Mokoma(si) spręsti 1–3 žingsnių lygtis (pirmojo laipsnio) su vienu nežinomuoju, jų sprendimo algoritmą grindžiant skaitinių lygybių savybėmis. Nagrinėjamos tokia pačia lygtimi aprašomos situacijos, parodoma, kad ta pati situacija gali būti aprašyta skirtingomis lygtimis.

Raidiniai reiškiniai. Apibendrinant nagrinėtus konkrečius pavyzdžius, suformuluojami, užrašomi raidėmis ir taikomi sudėties ir daugybos perstatomumo, jungiamumo, skirstomumo dėsniai (veiksmų savybės), dėsniai su nuliu ir vienetu. Apibrėžiama panašiųjų narių sąvoka. Pagrindžiamos ir taikomos panašiųjų narių sutraukimo, reiškinio prastinimo procedūros. Mokoma(si) sudaryti ir pertvarkyti paprastus raidinius reiškinius, kai tenka atlikti veiksmus su natūraliaisiais skaičiais.

Kelias, laikas, greitis. Sprendžiami dviejų kūnų judėjimo ta pačia kryptimi, priešingomis kryptimis, priešpriešinio judėjimo uždaviniai, įskaitant ir situacijas, kuomet objektai pradeda ar baigia judėti skirtingu laiku (atliekami veiksmai – sudėtis, daugyba iš natūraliojo skaičiaus – ir su dešimtainiais skaičiais). Mokantis spręsti judėjimo uždavinius, pasitelkiamos schemos, įvairūs modeliai, aptariama ir taikoma kelio formulė.

Ilgis, plotas, tūris, talpa. Aptariama metrinė matavimo sistema, įvairūs ilgio, ploto, tūrio, talpos matavimo vienetai. Praktinėse situacijose mokoma(si) įvertinti realių objektų dydžius. Matavimo vienetai stambinami ir smulkinami, įskaitant ir atvejus, kai dydžių skaitinės reikšmės yra dešimtainiai skaičiai.

Transformacijos. Apibrėžiamos transformacijos: simetrija tiesės atžvilgiu (atspindys), centrinė simetrija, posūkis, postūmis (lygiagretusis postūmis). Pasitelkiant fizinius modelius, skaitmenines priemones, mokoma(si) užbaigti braižyti figūrą, kad ji būtų simetriška, atkurti simetrišką figūrą iš jos dalies, schema pavaizduoti atliekamas transformacijas.

Plokštumos figūros. Susipažįstama su kampų matavimo vienetu – laipsniu (°) ir kampų matavimo įrankiu – matlankiu. Mokoma(si) vizualiai atpažinti smailųjį, statųjį, bukąjį, ištiestinį ir pilnąjį kampus; smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius. Apibrėžiama, kokie kampai vadinami gretutiniais, kryžminiais, mokoma(si) pagrįsti ir taikyti jų savybes. Formuluojama ir pagrindžiama hipotezė apie trikampio ir keturkampio kampų sumą. Paaiškinama, kad teiginį galima pagrįsti įvairiai ir, kad ne kiekvieną teiginio pagrindimą galima laikyti matematiniu įrodymu. Šiam teiginiui iliustruoti galima pateikti ir aptarti kelis kurios nors nagrinėtos figūros savybės pagrindimo būdus. Tyrinėjant trikampių, stačiakampių pavyzdžius, parodoma, kaip, perdėliojant stačiakampio dalis, gali būti gaunamos kitos figūros ir apibūdinamos tokios figūros, kaip lygiagretainis, trapecija, lygiašonė trapecija, rombas.

Erdvės figūros. Mokoma(si) pavaizduoti kubą ir stačiakampį gretasienį, taip pat suprojektuoti jų išklotines, atitinkančias nurodytus šių figūrų matmenis.

Perimetro, ploto, tūrio skaičiavimai. Aptariamos ir taikomos kvadrato ir stačiakampio perimetro ir ploto formulės. Mokoma(si) apskaičiuoti stačiojo trikampio plotą kaip pusę stačiakampio ploto. Sprendžiami sudėtingesni ploto apskaičiavimo uždaviniai, kai plokščioji figūra sudaryta iš kelių žinomų figūrų (stačiojo trikampio, kvadrato, stačiakampio), įskaitant ir tokius, kai derinamos perimetro ir ploto sąvokos. Pagrindžiamos ir taikomos kubo ir stačiakampio gretasienio tūrio formulės. Iš kubų, stačiakampių gretasienių konstruojamos sudėtingesnės figūros. Sprendžiami jų paviršiaus ploto, tūrio apskaičiavimo uždaviniai.

Aptariamos sąvokos: populiacija, imtis, imties vidurkis. Mokoma(si) kelti statistinius klausimus apie artimą aplinką, į kuriuos atsakyti galima, surinkus kokybinius ir kiekybinius duomenis. Aiškinamasi, kokie galėtų būti apklausos ar anketos klausimai; mokoma(si) numatyti galimų atsakymų reikšmes. Išsiaiškinama, kuomet galima apskaičiuoti imties vidurkį ir kokia gautos skaitinės reikšmės prasmė. Nagrinėjamos, interpretuojamos ir tokios situacijos, kai dažnių lentelėje ar stulpelinėje diagramoje pateikiamas labai didelis duomenų skaičius.

Nagrinėjami kasdienių atsitiktinių įvykių, paprasčiausių bandymų (stochastinių bandymų) pavyzdžiai (pavyzdžiui, metama moneta ir stebima, kuria puse ji atvirs, traukiami rutuliai, vyksta finalinės varžybos ir stebima, kuri komanda laimės ir pan.). Dėmesys sutelkiamas į visas jų galimas baigtis, turint galvoje tiek bandymus su vienodai galimomis baigtimis, tiek su nevienodai galimomis baigtimis. Baigtys koduojamos, sudaroma baigčių aibė, svarstoma apie baigčių tikėtinumą (kuri mažai tikėtina ar labai tikėtina).

Apibrėžiama įvykio tikimybės

\(\mathbf{P}(\mathrm{įvykio}) = \frac{m}{n} \)

sąvoka; vienodų baigčių atveju mokoma(si) ją taikyti, kai n neviršija 10.

6 klasė

Sveikieji skaičiai. Apibrėžiamos sąvokos: neigiamieji sveikieji skaičiai, teigiamieji sveikieji skaičiai, skaičiui priešingas skaičius; sveikųjų skaičių aibė. Aptariamas sveikųjų skaičių žymėjimas skaičių tiesėje, mokoma(si) užrašyti skaičiui priešingą skaičių. Mokantis palyginti sveikuosius skaičius, pasitelkiamas skaičių tiesės modelis. Apibrėžiama koordinačių plokštuma ir mokoma(si) sveikųjų skaičių poras joje pavaizduoti taškais ir atvirkščiai. Įvedama koordinatinio ketvirčio sąvoka; atkreipiamas dėmesys, kad koordinačių ašys nepriklauso ketvirčiams. Paaiškinama, kad koordinačių metodas – tai procedūra, kurios metu objekto vieta tiesėje arba koordinačių plokštumoje nusakoma skaičiumi ar jų pora. Nagrinėjami šio metodo taikymo realiame gyvenime pavyzdžiai (pavyzdžiui, objekto vietos nustatymas pagal jo koordinates).

Veiksmai su sveikaisiais skaičiais. Pateikiamos ir aptariamos veiksmų (sudėties, atimties, daugybos ir dalybos) su sveikaisiais skaičiais vizualizacijos. Pagrindžiant atliekamus veiksmus su sveikaisiais skaičiais, remiamasi algebrinės skaičių sumos samprata. Įsitikinama, kad veiksmams su sveikaisiais skaičiais atlikti tinka ir natūraliesiems skaičiams taikyti skaičiavimo dėsniai (perstatomumo, jungiamumo, skirstomumo, su nuliu ir vienetu). Praktikuojamasi juos taikyti, atliekant paprastus skaičiavimus su sveikaisiais skaičiais mintinai. Sprendžiami įvairaus turinio nesudėtingi uždaviniai su sveikaisiais skaičiais.

Racionalieji skaičiai.

Trupmenos. Apibrėžiamos sąvokos: teigiamasis skaičius, neigiamasis skaičius, racionalusis skaičius, skaičiui atvirkštinis skaičius. Įsitikinama, kad kiekvieną trupmeną \frac{m}{n} ) galima užrašyti baigtiniu ar begaliniu periodiniu dešimtainiu skaičiumi.

Mokoma(si) racionaliuosius skaičius palyginti, suapvalinti nurodytu tikslumu.

Veiksmai su racionaliaisiais skaičiais. Vizualizuojami ir pagrindžiami sudėties, atimties, daugybos, dalybos veiksmai su racionaliaisiais skaičiais. Įsitikinama, kad racionaliesiems skaičiams tinka tie patys dėsniai kaip ir natūraliesiems bei sveikiesiems skaičiams:

(a + b) + c = a + (b + c),\ \ \ a + b = b + a,\ \ \ a + 0 = 0 + a = a,

a + (–a) = (–a) + a = 0, \ \ \ (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c),\ \ \ a ⋅ b = b ⋅ a,

a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a,\ \ \ a ⋅ \( \frac{1}{a} \) = \( \frac{1}{a} \) ⋅ a = 1\ (a ≠ 0),\ \ \ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Veiksmai su racionaliaisiais skaičiais ir jų savybės taikomi, sprendžiant įvairaus konteksto uždavinius.

Sprendžiami uždaviniai, kai vartojamos nuolaidos, procentinės nuolaidos sąvokos; mokoma(si) apskaičiuoti įvairių prekių ir paslaugų vieneto tarifus. Dalyvaudami projektinėse veiklose, mokiniai mokosi priimti skaičiavimais grįstus finansinius sprendimus (pavyzdžiui, planuoti ir valdyti asmeninį savaitės biudžetą), jie susipažįsta su mokesčių rūšimis ir sužino, kaip per mokesčius surinkti pinigai yra panaudojami bendruomenių, visuomenės reikmėms.

Lygtys. Sprendžiamos 1–4 žingsnių pirmojo laipsnio lygtys su vienu nežinomuoju (lygtyje gali būti ir skliaustų; sprendžiant lygtį, gali būti atliekami veiksmai ir su trupmenomis). Mokoma(si) sudaryti lygtis iš uždavinio sąlygos ar schemos ir tuo atveju, kai nežinomasis sąlygoje nenurodytas.

Tiesioginis proporcingumas. Nagrinėjamas tiesioginio proporcingumo sąryšis, mokoma(si) jį aprašyti (įvesties ir (ar) išvesties; I ir (ar) O) lentelėmis, skaičių poromis ir pažymėti taškais koordinačių plokštumoje. Susipažįstama su grafiko sąvoka, formuojami grafiko skaitymo ir braižymo įgūdžiai. Nagrinėjami kasdieniame gyvenime pasitaikantys dydžiai, kuriuos sieja tiesioginis proporcingumas. Apibrėžiamos santykio, proporcijos sąvokos; pagrindžiama ir, sprendžiant uždavinius, taikoma pagrindinė proporcijos savybė ir jos išvados.

Transformacijos. Nagrinėjant praktinius pavyzdžius (pavyzdžiui, skirtingo dydžio nuotrauką), aptariama, kaip galima padidinti ar sumažinti objekto vaizdą. Koordinačių plokštumoje arba languotame popieriuje sudaromos didėjančių ar mažėjančių figūrų sekos, mokoma(si) surasti trūkstamus jų narius, apibūdinti taisyklę, kaip yra sudaryta figūrų seka.

Braižymas. Skriestuvu ir liniuote mokoma(si) atidėti atkarpai lygią atkarpą, nubraižyti kampui lygų kampą, trikampiui lygų trikampį. Braižant trikampiui lygų trikampį, įsitikinama, kad užduotis atliekama ir turint tik tris tam tikrus trikampio elementus. Apibendrinant pavienius lygių trikampių brėžimo atvejus, suformuluojama taisyklė apie trikampio egzistavimą, suformuluojami trikampių lygumo požymiai, paprasčiausiais atvejais mokoma(si) juos taikyti.

Plokštumos figūros. Apibrėžiama, kokios figūros matematikoje vadinamos panašiosiomis. Aiškinama(si), kokie panašiųjų figūrų elementai vadinami atitinkamais, mokoma(si) juos atpažinti. Tyrinėjant panašiuosius trikampius, įsitikinama, kad jų atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamų kraštinių ilgių santykiai lygūs tam pačiam skaičiui (šis skaičius vadinamas trikampių panašumo koeficientu). Apibrėžiama ir taikoma mastelio sąvoka. Suformuluojami trikampių panašumo požymiai. Mokoma(si) rasti panašiųjų trikampių, panašiųjų keturkampių nežinomų kraštinių ilgius, sudarant proporcijas. Pateikiami ir aptariami keli keturkampio kampų sumos radimo būdai.

Mokoma(si) kelti statistinius klausimus, į kuriuos atsakyti galima analizuojant diskrečiuosius duomenis, pateiktus dvigubomis stulpelinėmis diagramomis, linijinėmis diagramomis. Praktikuojamasi išskirti požymį ir numatyti jo reikšmes, rūšiuoti duomenis pagal pasirinktą požymį. Išsiaiškinama, ką vadiname imties moda, mediana. Mokoma(si) apskaičiuoti kiekybinių duomenų vidurkį, modą ir medianą iš duomenų (dažnių) lentelės ar stulpelinės diagramos, aptariama, kuo svarbi kiekviena šių charakteristikų, kaip jos viena kitą papildo. Braižant diagramas ir duomenų lenteles, randant skaitines charakteristikas, pasitelkiamos ir skaitmeninės technologijos.

Apibrėžiama įvykio sąvoka (galimų baigčių rinkinys). Nagrinėjami vieno dviejų etapų bandymai (stochastiniai bandymai) ir su jais susiję nesutaikomi įvykiai. Sudarant baigčių su dviem elementais rinkinius, braižomi galimybių medžiai ir sudaromos galimybių lentelės. Taip pat aptariama, kaip galima apskaičiuoti dviejų etapų bandymų baigčių skaičių, taikant daugybos taisyklę. Apibrėžiami įvykiai: elementarusis, būtinasis, negalimasis.

Mokoma(si) taikyti formulę

\(\mathbf{P}(\mathrm{įvykio}) = \frac{m}{n} \) .

Aptariama, kodėl įvykio tikimybė visuomet yra skaičius iš intervalo [0; 1].

Mokoma(si) formuluoti įvykiui priešingą įvykį, pagrindžiamas įvykio ir jam priešingo įvykio tikimybių sąryšis.

Kuriamos ir aptariamos žaidimo taisyklės, numatančios tą pačią laimėjimo tikimybę kiekvienam žaidėjui. Diskutuojama, kaip statistika gali padėti apskaičiuoti apytikrį įvykio tikėtinumą.

7–8 klasių koncentras

7 klasė

Realieji skaičiai.

Laipsnis su sveikuoju rodikliu. Apibrėžiamas laipsnis su natūraliuoju rodikliu. Pagrindžiami ir taikomi laipsnių su vienodais pagrindais ir laipsnių su skirtingais pagrindais, bet tokiais pačiais rodikliais daugybos ir dalybos, taip pat laipsnio kėlimo laipsniu veiksmai. Apibrėžiama laipsnio su nuliniu ir sveikuoju neigiamuoju rodikliu sąvoka. Pagrindžiama, kad laipsniams su sveikaisiais neigiamaisiais rodikliais būdingos tos pačios savybės kaip ir laipsniams su sveikaisiais teigiamaisiais rodikliais. Paaiškinama, kad \(a^0=1\), kai a nelygu 0. Aptariama veiksmų atlikimo tvarka reiškinyje, kai jame yra ir laipsnių. Nagrinėjamos realaus pasaulio situacijos, kai skaičiai užrašyti standartine skaičiaus išraiška \(a \cdot10^k\), kai 1 ≤ a<10;\ k yra sveikasis skaičius. Mokoma(si) skaičius užrašyti tokiu pavidalu, juos perskaityti, palyginti. (Plačiau standartinio skaičiaus sąvoka taikoma fizikos pamokose.)

Mokoma(si) spręsti uždavinius, kai skaičius ar dydis kelis kartus tam tikru procentų skaičiumi padidinamas arba sumažinamas. Aptariami moksliniai informacijos šaltiniai, kurie gali padėti planuoti ir pasiekti finansinį tikslą. Mokoma(si) sukurti, sekti ir koreguoti biudžetą, siekiant ilgalaikių finansinių tikslų pagal įvairius scenarijus (pavyzdžiui, mokiniai gali parengti ir apsvarstyti kelis kelionės, renginio, remonto ir pan. biudžeto pasiūlymus). Nagrinėjant bankų ir kitų finansinių institucijų konkrečius siūlymus, aptariama, kas yra palūkanos, palūkanų norma, mokoma(si) jas apskaičiuoti. Mokoma(si) paaiškinti, kaip palūkanų normos gali turėti įtakos taupymui, investicijoms ir galutinei skolinimosi kainai. Nagrinėjami už prekes ir paslaugas apmokėtų sąskaitų pavyzdžiai, įvairių finansinių įstaigų siūlomos paskolų palūkanų normos ir taikomi papildomi mokesčiai; mokoma(si) priimti sprendimą dėl geriausio pasirinkimo varianto iš kelių siūlomų.

Nelygybės. Įsitikinama, kad skaitinėms nelygybėms būdingos savybės:

jeigu a > b ir b > c, tai a > c;

jeigu a > b, tai b < a;

jeigu a > b, tai –a < –b;

jeigu a > b, tai a ± c > b ± c;

jeigu a > b ir c > 0, tai a ⋅ c > b ⋅ c;

jeigu a > b ir c <0, tai a ⋅ c < b ⋅ c;

jeigu a > b ir c > 0, tai a : c > b : c;

jeigu a > b ir c < 0, tai a : c < b : c.

Apibrėžiamos sąvokos: nelygybė su vienu nežinomuoju, nelygybės sprendinys, nelygybės sprendinių aibė, griežta nelygybė, negriežta nelygybė; išsiaiškinama ženklų ≤, ≥ prasmė. Aptariama, ką reiškia nelygybių sistema, dviguboji nelygybė; mokoma(si) ją užrašyti dviejų nelygybių sistema. Nelygybių su vienu nežinomuoju sprendimo algoritmas pagrindžiamas skaitinių nelygybių savybių taikymu. Praktikuojamasi spręsti dvigubąsias nelygybes, jų sistemas. Atkreipiamas dėmesys į nelygybės ar nelygybių sistemos sprendimo algoritmą; mokoma(si) taisyklingai užrašyti nelygybės ar nelygybių sistemos sprendimą, pavaizduoti gautus sprendinius skaičių tiesėje, užrašyti juos intervalu. Sprendžiami uždaviniai, kai prašoma atrinkti tam tikras sąlygas tenkinančius nelygybių sprendinius.

Atvirkštinis proporcingumas. Nagrinėjamos įvesties ir (ar) išvesties (I ir (ar) O) lentelės, kuriomis išreikštas atvirkštinio proporcingumo sąryšis; mokoma(si) tokias lenteles sudaryti ir susieti su uždavinio sąlyga (pavyzdžiui, greitis ir laikas, esant pastoviam keliui; stačiakampio ilgis ir plotis, esant pastoviam plotui ir pan.). Taip pat mokoma(si) tokių lentelių duomenis užrašyti skaičių poromis ir pažymėti taškais koordinačių plokštumoje. Formuojami grafiko skaitymo ir braižymo įgūdžiai. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, kuriuose remiamasi samprata apie tiesioginį ir atvirkštinį proporcingumą.

Transformacijos. Mokoma(si) pagrįsti koordinačių plokštumoje pavaizduotų figūrų lygumą, nurodant transformacijų seką, kaip iš vienos figūros buvo gauta kita. Taip pat mokoma(si) šią seką apibūdinti, nurodant pradinės ir gautos figūros koordinates (pavyzdžiui, (x; y), (x + 2; y + 2), ...).

Braižymas. Fizinėmis ir skaitmeninėmis priemonėmis mokoma(si) rasti atkarpos vidurio tašką, nubrėžti duotai tiesei statmeną tiesę (kai ji eina per nurodytą tašką tiesėje ar šalia jos), padalyti kampą pusiau, pavaizduoti brėžinyje atstumą tarp dviejų taškų, tarp taško ir tiesės, tarp lygiagrečiųjų tiesių. Mokoma(si) brėžinyje atpažinti ar nubrėžti šiuos figūrų elementus: trikampio pusiaukampines, pusiaukraštines, aukštines; lygiagretainio aukštines; trapecijos aukštinę, pagrindus ir šonines kraštines.

Plokštumos figūros. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kas yra vadinama apibrėžtimi, teorema, hipoteze, išvada. Nagrinėjami sąlyginių teiginių „jei, tai“ pavyzdžiai, aiškinamasi, kuo teiginio sąlyga skiriasi nuo teiginio išvados. Mokoma(si) formuluoti sąlyginiam teiginiui atvirkštinį teiginį. Nagrinėjant konkrečius atvejus, įsitikinama, kad ne kiekvienas atvirkštinis teiginys yra teisingas. Apibrėžiama lygiagrečių tiesių sąvoka. Nagrinėjami kampai, kurie gaunami dvi lygiagrečias tieses perkirtus trečiąja tiese: atitinkamieji, vidaus priešiniai, vidaus vienašaliai. Aptariami lygiagrečiųjų tiesių požymiai, sprendžiami uždaviniai, susiję su tiesių lygiagretumu. Apibrėžiama, kokie keturkampiai vadinami kvadratais, stačiakampiais, lygiagretainiais, rombais, trapecijomis. Tyrinėjant konkrečius keturkampių pavyzdžius, pastebima, kad skirtingų tipų keturkampiai gali turėti bendrų ir tik jiems būdingų savybių. Aptariamos ir taikomos lygiagretainio, rombo, stačiakampio ir kvadrato savybės, kartu pastebint, kuri figūra yra bendresnės figūrų grupės dalis. Aiškinamasi, ką reiškia klasifikuoti figūras, prisimenamos trikampių rūšys (pagal kampus ir kraštines), klasifikuojami keturkampiai (pagal lygiagrečių kraštinių skaičių). Aptariamos trapecijų rūšys. Žinios apie nagrinėtas plokščiąsias figūras taikomos, sprendžiant paprastus matematinio ir realaus konteksto uždavinius.

Erdvės figūros. Nagrinėjant modelius ir brėžinius, mokoma(si) atpažinti stačiąją ar taisyklingąją prizmę, jos aukštinę; taisyklingąją piramidę, jos aukštinę ir apotemą; ritinio aukštinę; kūgio aukštinę ir sudaromąją.

Ilgio, ploto, tūrio skaičiavimai. Mokoma(si) apskaičiuoti trikampio, lygiagretainio, trapecijos plotą kaip stačiakampio ar kvadrato ploto dalį. Pagrindžiamos šių figūrų plotų formulės. Tyrinėjant nustatoma, kad apskritimo ilgio ir apskritimo skersmens ilgio santykis apytiksliai lygus 3,14 (įvedamas skaičius π). Aiškinama(si), kaip apskaičiuoti apskritimo ilgį, skritulio plotą, kai yra žinomas jo spindulio ilgis. Sprendžiami skritulio dalies ploto, apskritimo lanko dalies ilgio radimo uždaviniai, pavyzdžiui, ieškoma \( \frac{1}{4} \) skritulio ploto. Pagrindžiamos ritinio ir kūgio paviršiaus ploto apskaičiavimo formulės. Sprendžiami ritinio, kūgio paviršiaus ploto apskaičiavimo uždaviniai. Mokoma(si) paprastose situacijose taikyti stačiosios prizmės, ritinio, kūgio ir piramidės tūrio formules (šios formulės pateikiamos be įrodymų).

Aptariamos sąvokos: populiacija ir imtis, imties dydis, reprezentatyvioji imtis, atsitiktinumas. Paaiškinama, kas yra atsitiktinė imties elementų atranka, kaip galima organizuoti atsitiktinę imties elementų atranką (pavyzdžiui, pasinaudoti generatoriais). Susipažįstama su įvairiais imčių sudarymo būdais: sistemine atranka, sluoksnine atranka, lizdine atranka. Aiškinama(si) įvairių rūšių duomenų pobūdis, kaip praktikoje gali būti interpretuojamas duomenų rinkinių kintamumas. Nagrinėjant konkrečias situacijas, aptariami imčių sudarymo ir gautų išvadų apie jas pagrįstumo klausimai (pavyzdžiui, mokoma(si) nuspėti mokykloje vykstančių rinkimų nugalėtoją, remiantis atsitiktinės atrankos tyrimo duomenimis). Mokoma(si) duomenis pateikti skrituline diagrama ir spręsti uždavinius, kai duomenys pateikiami šios rūšies diagramomis.

8 klasė

Realieji skaičiai.

Kvadratinė ir kubinė šaknys. Apibrėžiamos sąvokos: kvadratinė šaknis, kubinė šaknis. Mokoma(si) apskaičiuoti kvadratinių ir kubinių šaknų reikšmes, kai pošaknyje yra atitinkamų racionaliųjų skaičių kvadratai, kubai. Mokoma(si) rasti kvadratinės ir kubinės šaknies apytikslę reikšmę, įvertinti skaitinio reiškinio, kuriame yra kvadratinė arba kubinė šaknis, reikšmę. Sprendžiami uždaviniai, kai be skaičiuotuvo reikia įvertinti, tarp kokių sveikųjų skaičių yra nurodytoji šaknis (pavyzdžiui, rasti tokį sveikąjį skaičių\(a\), su kuriuo teisinga nelygybė \(a ≤ \sqrt{111} < a+1\)). Praktikuojamasi įkelti teigiamą skaičių į pošaknį ir iškelti jį prieš šaknies ženklą, taip pat sudauginti to paties laipsnio šaknis ar jas padalyti.

Skaičių aibės. Apibrėžiama, kokie skaičiai vadinami racionaliaisiais, iracionaliaisiais, realiaisiais. Aptariamos sąvokos: skaičių aibė, baigtinė aibė, begalinė aibė, aibės poaibis. Nustatomi ryšiai tarp skaičių aibių \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}. Mokoma(si) pagrįsti ir užrašyti, kuriai skaičių aibei priklauso ar nepriklauso įvairūs skaičiai (pavyzdžiui, \(5∈\mathbb{N}\)). Mokoma(si) skaičių aibes pavaizduoti simboliais, schemomis, užrašyti, naudojantis aibių teorijos simboliais, intervalais, nelygybėmis, reiškiniais (pavyzdžiui, mokoma(si) reiškiniu užrašyti lyginių, nelyginių natūraliųjų skaičių aibes).

Veiksmai su realiaisiais skaičiais. Aptariama veiksmų su realiaisiais skaičiais atlikimo tvarka. Mokoma(si) apskaičiuoti, palyginti, įvertinti nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes. Atliekant veiksmus su realiaisiais skaičiais, pirmenybė teikiama sklandžiam mintinio skaičiavimo strategijų taikymui. Kai skaičiai nėra patogūs skaičiuoti, pasitelkiamas skaičiuotuvas.

Mokoma(si) nustatyti ir palyginti valiutų kursus, konvertuoti valiutas, priimti sprendimą dėl mokėjimo būdo, kai galima pasirinkti, kokia valiuta atsiskaityti už prekes ar teikiamas paslaugas. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjami paprastų ir sudėtinių palūkanų augimo scenarijai ir aptariama, koks jų poveikis, planuojant ilgalaikį finansavimą (pavyzdžiui, sudaromas paskolos išsimokėjimo planas, taikant paprastuosius arba sudėtinius procentus; skaičiuojama, kokia būtų fiksuotos ir kintamosios palūkanų normos įtaka grąžintinai pinigų sumai). Aptariami galimybių gauti daugiau vertės už tuos pačius pinigus pavyzdžiai (pavyzdžiui, klientų lojalumas, dalyvavimas programose ir pan.). Mokoma(si) sukurti skaičiavimais grįsto geriausio pasirinkimo scenarijų, kuomet palyginamos palūkanų normos, metiniai mokesčiai, atlygiai ir kitos paskatos, kurias siūlo įvairios kredito ar lizingo bendrovės, bankai (pavyzdžiui, apskaičiuojami prekių įsigijimo, perkant kreditu ar lizingu, kainų skirtumai, aptariami kredito ir lizingo privalumai ir trūkumai).

Raidiniai reiškiniai. Apibrėžiamos vienanario, dvinario, trinario, daugianario sąvokos. Aiškinama(si), kaip sudauginti du raidinius reiškinius. Išvedamos ir taikomos greitosios daugybos formulės (kubų formulės nenagrinėjamos). Mokoma(si) paprastais atvejais iš kvadratinio trinario išskirti dvinario kvadratą. Daugianariai skaidomi dauginamaisiais (iškėlimas prieš skliaustus, greitosios daugybos formulių taikymas, grupavimas).

Lygčių sistemos. Apibrėžiamos sąvokos: lygtis su dviem nežinomaisiais, lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys (skaičių pora), praktikuojamasi vieną nežinomąjį išreikšti kitu. Mokoma(si) tiesinės lygties

ax + by = c

sprendinius pavaizduoti grafiškai (taikant ir skaitmenines priemones).

Aptariamos sąvokos: tiesinių lygčių sistema, tiesinių lygčių sistemos sprendinys. Mokoma(si) spręsti tiesinių lygčių sistemas grafiniu, keitimo, sudėties, sulyginimo būdais, tyrinėjama, kiek sprendinių gali turėti tokia sistema.

Nagrinėjamos įvairios realaus pasaulio situacijos, kurios gali būti modeliuojamos lygčių sistemomis.

Tiesinis sąryšis. Nagrinėjamos įvesties ir (ar) išvesties (I ir (ar) O) lentelės, kuriomis išreikštas tiesinis sąryšis, mokoma(si) tokias lenteles sudaryti ir susieti su tekstinio uždavinio sąlyga (pavyzdžiui, kainos, kurią sudaro pastovioji ir kintamoji dalis, apskaičiavimas ir pan.). Tokių lentelių duomenys siejami su grafine jų išraiška, pastebint, kad skaičių poras atitinkantys taškai yra vienoje tiesėje. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, kai dydžiai siejami tiesiniu sąryšiu.

Transformacijos. Apibrėžiama vektoriaus (kryptinės atkarpos) sąvoka. Mokoma(si) atpažinti lygius, priešinguosius vektorius, rasti vektorių sumą, skirtumą, padauginti vektorių iš skaičiaus. Šie apibrėžimai taikomi, sprendžiant paprastus geometrinius uždavinius (plačiau vektoriaus sąvoka taikoma fizikos pamokose).

Braižymas. Projektuojama, kaip atrodytų kuriamas objektas, žvelgiant į jį iš viršaus, iš priekio, iš šono. Projektuojamų objektų brėžiniai, numatomi jų vaizdai atliekami kompiuterinėmis programomis. Kuriant ar gaminant modelius, mokomasi naudotis brėžiniais, kuriuose nurodytas mastelis.

Plokštumos figūros. Aiškinamasi, kuo matematinis įrodymas skiriasi nuo empirinių pastebėjimų. Pastebima, kad tą patį teiginį galima įrodyti keliais būdais. (Šioms idėjoms iliustruoti labai tinka Pitagoro teorema.) Paaiškinama, kuo tiesioginis įrodymas skiriasi nuo įrodymo prieštaros būdu (pavyzdžiui, prieštaros būdu įrodoma teorema apie taško atžvilgiu simetriškų tiesių lygiagretumą). Įrodomos Pitagoro ir jai atvirkštinė teoremos; mokoma(si) jas taikyti, sprendžiant įvairius uždavinius. Apibrėžiamos sąvokos: trikampio vidurio linija, trapecijos vidurio linija; pagrindžiamos jų savybės. Tyrinėjamos lygiašonio, lygiakraščio trikampio savybės, mokoma(si) jas pagrįsti. Įrodoma statinio priešais 30° kampą savybė. Mokoma(si) taikyti įgytas žinias, sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius.

Erdvės figūros. Nagrinėjami pavyzdžiai, kaip Pitagoro teorema taikoma erdvinių figūrų elementams apskaičiuoti. Sprendžiami paprasti stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, sferos paviršiaus ploto ir tūrio skaičiavimo uždaviniai. Naudojantis fizinėmis ir skaitmeninėmis priemonėmis, gaminami erdvinių figūrų modeliai, atliekami kūrybiniai darbai.

Ilgio, ploto, tūrio skaičiavimai. Sprendžiami įvairūs matematinio ir praktinio turinio uždaviniai, kai turimos figūrų pažinimo žinios derinamos su kitų sričių žiniomis (pavyzdžiui, Pitagoro teorema taikoma atstumui tarp dviejų taškų koordinačių plokštumoje apskaičiuoti).

Nagrinėjamos situacijos, kai keliami sudėtingesni statistiniai klausimai. Aiškinamasi, kaip surinkti duomenys grupuojami į vienodo ilgio intervalus. Nagrinėjant konkrečius pavyzdžius, aptariamos histogramos, empirinio tankio sąvokos. Mokoma(si) duomenis suskirstyti į vienodo ilgio intervalus, taip pat įvertinti, koks galėtų būti į intervalus patekusių duomenų vidurkis. Apibrėžiama kvartilio sąvoka. Mokoma(si) surasti duomenų pirmąjį, antrąjį, trečiąjį kvartilius, grafiškai pavaizduoti duomenų išsibarstymą stačiakampe diagrama (su „ūsais“), skaityti ir suprasti tokia diagrama pavaizduotą informaciją. Mokoma(si) interpretuoti duomenis, kai yra išskirčių (stipriai išsiskiriančių duomenų). Nagrinėjant praktines situacijas, aptariama, kaip apskaičiuojamas sukauptasis dažnis, sukauptasis santykinis dažnis. Aiškinamasi, kaip sukauptojo dažnio ir sukauptojo santykinio dažnio lentelės duomenys pavaizduojami sukauptojo dažnio ar sukauptojo santykinio dažnio diagrama, kaip skaityti ir interpretuoti tokiomis diagramomis pateiktus duomenis.

9–10 (I–II gimnazijos) klasių koncentras

9 (I gimnazijos) klasė

Skaičių sekos. Skaičių seka apibrėžiama kaip funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra natūraliųjų skaičių aibė \mathbb{N}. Paprastais atvejais mokoma(si) skaičių sekas aprašyti {n}-tojo nario formule, taip pat rekurentiniu būdu. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, kai nagrinėjami, taikomi, derinami įvairūs skaičių sekų apibūdinimo būdai.

Kvadratinės lygtys. Apibrėžiama antrojo laipsnio (kvadratinė) lygtis su vienu nežinomuoju. Įrodoma ir taikoma kvadratinės lygties sprendinių formulė. Nagrinėjamos diskriminanto reikšmės sąsajos su kvadratinės lygties sprendinių skaičiumi. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, sudarant kvadratines lygtis.

Raidiniai reiškiniai. Apibrėžiama kvadratinio trinario sąvoka, įrodoma jo skaidymo dauginamaisiais formulė; ji taikoma, sprendžiant uždavinius. Apibrėžiama trupmeninio racionaliojo reiškinio sąvoka, aptariama jo apibrėžimo sritis. Mokoma(si) pritaikyti žinomus sudėties ir daugybos dėsnius, veiksmų su laipsniais ir trupmenomis savybes, pertvarkant, prastinant nesudėtingus trupmeninius racionaliuosius reiškinius.

Lygčių sistemos. Mokoma(si) dviejų lygčių sistemas (su dviem nežinomaisiais), kurių viena lygtis yra pirmojo, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio, spręsti grafiniu ir keitimo būdais. Nagrinėjamos įvairios realaus pasaulio situacijos, kurios gali būti modeliuojamos lygčių sistemomis.

Funkcijos samprata. Apibrėžiamos sąvokos: funkcija, funkcijos argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos grafikas. Mokoma(si) funkciją apibūdinti žodžiais, lentele, grafiku, formule (naudojantis ir skaitmeninėmis priemonėmis), apskaičiuoti ir (ar) nustatyti funkcijos reikšmes, kai yra žinoma funkcijos argumento reikšmė, ir atvirkščiai. Aiškinama(si), kuo funkcijos grafiko eskizas skiriasi nuo grafiko. Mokoma(si) nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių sritį, funkcijos grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškus; intervalus, kuriuose funkcija įgyja teigiamas ir neigiamas reikšmes; yra didėjančioji, mažėjančioji ar pastovioji.

Tiesinė ir kvadratinė funkcijos. Sprendžiami uždaviniai, kai realaus gyvenimo situacijoms tyrinėti ir modeliuoti – eksperimento duomenims aprašyti – taikomos (pasitelkiamos) funkcijos. Išnagrinėjus tiesinės funkcijos modeliu aprašomus eksperimento duomenis, yra apibrėžiama tiesinė funkcija

y=kx+b,

tiesės krypties koeficientas {k,} postūmio koeficientas {b}. Braižant konkrečių tiesinių funkcijų grafikų eskizus (tieses), tyrinėjama, kaip tiesės padėtis priklauso nuo šių koeficientų reikšmių.

Išnagrinėjus kvadratine funkcija aprašomus eksperimento duomenis, įvedama kvadratinės funkcijos

y=ax^2+bx+c, kai {a ≠ 0},

sąvoka, braižomi jos grafiko (parabolės) eskizai. Tyrinėjama, kaip parabolės forma ir padėtis priklauso nuo {a} ir \(D=b^2-4ac\) reikšmių.

Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip, taikant transformacijas, iš funkcijos y=x grafiko gauti funkcijos

y=kx+b

grafiką, o iš funkcijos y=x^2 grafiko gauti funkcijos

y =a(x-m)^2+n

grafiką.

Sprendžiami uždaviniai, kuriuose įvairios realaus pasaulio situacijos yra modeliuojamos funkcijomis:

y=kx+b,\ \ \ y=ax^2+bx+c,\ \ \ y=a(x-m)^2+n,\ \ \ y=a(x-x_1 )(x-x_2 ).

Plokštumos figūros. Apibrėžiami centrinis ir įbrėžtinis kampai. Nagrinėjama centrinio ir įbrėžtinio kampo, kurie kerta tą patį lanką, savybė. Apibrėžiamos sąvokos: apskritimo liestinė, kirstinė, styga; skritulio išpjova, nuopjova. Paaiškinama, kad apskritimo lankas matuojamas ne tik ilgio matavimo vienetais, bet ir laipsniais. Aptariamos ir taikomos savybės: liestinės statmenumo spinduliui, susikertančiųjų liestinių atkarpų iki lietimosi su apskritimu taškų, susikertančiųjų stygų. Mokoma(si) remtis apibrėžimais ir įrodytais teiginiais, sprendžiant įvairius matematinio ir realaus konteksto uždavinius, įrodinėjant kitus teiginius.

Įvadas į trigonometriją. Apibrėžiami sinusas, kosinusas ir tangentas stačiajame trikampyje. Apskaičiuojant panašiųjų trikampių atitinkamų kraštinių ilgių santykius, įsitikinama, kad jų reikšmės nepriklauso nuo trikampio dydžio. Įrodomos lygybės

\(\sin^2 (α)+\cos^2 (α)=1\),\ \ \ \tg (α) = \frac {\sin⁡(α)} {\cos⁡(α)}

ir sudaroma kampų \(30^\circ,45^\circ, 60^\circ\) trigonometrinių reikšmių lentelė. Mokoma(si) naudotis skaičiuotuvu apskaičiuojant tikslias ir apytiksles smailiojo kampo sinuso, kosinuso, tangento reikšmes. Sprendžiami įvairūs uždaviniai, kai taikomi sinuso, kosinuso, tangento stačiajame trikampyje apibrėžimai (pavyzdžiui, nustatyti objekto aukštį, rasti kelio nuolydį ar lėktuvo pakilimo kampą, apskaičiuoti atstumą iki neprieinamos vietos ir pan.).

Nagrinėjamos taškinės (sklaidos) diagramos, vaizduojančios statistinį ryšį tarp dviejų kintamųjų (stebimų požymių) reikšmių. Mokoma(si) iš sklaidos diagramos įvertinti šio ryšio buvimą ar nebuvimą, aptariama, kokiais atvejais kalbama apie kintamųjų koreliacinį ryšį. Detaliau aptariama tiesinė koreliacija. Mokoma(si) užrašyti sklaidos diagramoje pavaizduotos tiesės lygtį {y = kx+ b}, interpretuoti šia lygtimi aprašomą duomenų ryšį. Aptariama, kodėl negalime daryti išvados apie tiesinės priklausomybės egzistavimą populiacijoje, jei duomenys imtyje yra neatsitiktiniai ar jų yra per mažai.

10 (II gimnazijos) klasė

Nagrinėjamos probleminės situacijos, kuomet nustatomas matematinės informacijos trūkumas ir mokoma(si) ją susirasti, atsirinkti. Sprendžiami uždaviniai, į kuriuos atsakyti galima nevienareikšmiai, kurie turi daugiau negu vieną teisingą atsakymą. Praktikuojamasi sugalvoti naujus klausimus (sąlygą, uždavinį), nustatyti naujo uždavinio ryšį su anksčiau spręstuoju. Sprendžiami uždaviniai, kai skaičius, dydis padalijamas į dvi nelygias dalis, kuriuos sprendžiant reikia remtis proporcingąja dalyba. Nagrinėjama Fibonačio skaičių seka, aukso pjūvio skaičius \(Φ = \frac {1 + \sqrt5} 2\), aukso pjūvio seka (0{,}056; 0{,}090; 0{,}146; 0{,}236; …). Sprendžiami su procentais ir dydžių santykiais susiję uždaviniai: džiovinimo ir drėkinimo; sudėtinių procentų; lydinių, mišinių, tirpalų.

Trupmeninės racionaliosios lygtys. Apibrėžiama trupmeninės racionaliosios lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, joms sukiant pavidalą \( \frac{A(x)}{B(x)} \) = 0. Nagrinėjamos įvairios realaus pasaulio ir matematinės situacijos, kurios gali būti modeliuojamos racionaliosiomis lygtimis.

Kvadratinės nelygybės. Apibrėžiama kvadratinės nelygybės sąvoka. Mokoma(si) kvadratines nelygybes spręsti algebriniu, t. y. kai pradinė kvadratinė nelygybė keičiama dviejų pirmojo laipsnio nelygybių sistemomis, ir grafiniu būdais. Diskutuojama apie grafinio ir algebrinio būdo taikymo ypatumus, kai šie būdai pasitelkiami kvadratinės funkcijos įvairioms savybėms nagrinėti.

Lygčių sistemos. Nagrinėjamos lygčių sistemos (su dviem nežinomaisiais), kurių viena lygtis tiesinė, o kita tiesinė, kvadratinė ar trupmeninė racionalioji. Taikomi įvairūs tokių lygčių sistemų sprendimo būdai. Mokoma(si) įvairaus konteksto situacijas modeliuoti lygčių sistemomis.

Plokštumos figūros. Nagrinėjant panašiųjų figūrų perimetrus, plotus, nustatomi dėsningumai, jie pagrindžiami ir taikomi, sprendžiant uždavinius. Tyrinėjamos ir pagrindžiamos trikampio pusiaukampinių, pusiaukraštinių savybės. Apibrėžiamos sąvokos: įbrėžtinis daugiakampis, apibrėžtinis daugiakampis. Suformuluojami ir pagrindžiami teiginiai apie į trikampį įbrėžto apskritimo ir apie trikampį apibrėžto apskritimo centrus. Mokomasi taikyti formules

S= rp,\ \ \ S=\frac{abc}{4R}.

Mokomasi pagrįsti ir taikyti įbrėžtinio ir apibrėžtinio keturkampio savybes. Mokomasi remtis apibrėžimais ir įrodytais teiginiais, sprendžiant įvairius matematinio ir realaus konteksto uždavinius, įrodinėjant kitus teiginius.

Įvadas į trigonometriją. Apibrėžiamas vienetinis apskritimas ir posūkio kampas, posūkio kampo sinusas, kosinusas, tangentas, kai \(α∈(0^\circ;180^\circ\)). Išsiaiškinama, kaip apskaičiuojamos \(120^\circ, 135^\circ, 150^\circ\) kampų sinuso ir kosinuso reikšmės. Apibendrinama, kaip apskaičiuojamos bet kokio smailiojo ar bukojo kampo sinuso, kosinuso reikšmės ir įrodomos formulės:

\sin⁡(180^\circ\ –\ α)=\sin⁡(α),\ \ \ \cos⁡(180^\circ\ –\ α)= –\cos⁡(α).

Įrodoma trikampio ploto formulė

S= \frac12 ab \sin (∠C),

kosinusų teorema, sinusų teorema, mokomasi jas taikyti nežinomiems trikampio elementams rasti. Pagrindžiamas sinusų teoremos ir apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgio sąryšis. Praktikuojamasi taikyti šias teoremas, sprendžiant trikampių uždavinius.

Paaiškinama, kaip imties iš populiacijos sudarymas susijęs su pagrįstų išvadų darymu, ką vadiname duomenų rinkinių kintamumu, duomenų pasiskirstymu, kaip galima apibūdinti ir kiekybiškai interpretuoti duomenų rinkinius. Aptariamos sąvokos: dispersija, standartinis nuokrypis, skirstinys, normalusis skirstinys, simetriškasis skirstinys, asimetriškasis skirstinys. Nagrinėjant realaus gyvenimo konteksto pavyzdžius, diskutuojama apie duomenų rinkimą ir analizavimą. Svarstoma, kokias išvadas apie duomenis leidžia daryti jų pasiskirstymą aproksimuojančios kreivės forma ar apskaičiuotos duomenų centro (pavyzdžiui, vidurkio) ir sklaidos (pavyzdžiui, standartinio nuokrypio, kvartilių) charakteristikos. Analizuojamas statistinis patikimumas.

Aptariama, kas yra kelių elementų rinkinys, kaip užrašoma tokių rinkinių aibė. Mokoma(si) sudaryti rinkinius, kai elementai imami iš tos pačios aibės ar skirtingų aibių. Nagrinėjami pavyzdžiai, kai elementų tvarka rinkinyje svarbi ir kai nesvarbi. Aiškinama(si), kaip apskaičiuoti rinkinių skaičių, atsižvelgiant į elementų tvarkos rinkinyje svarbą. Aptariama, kada, skaičiuojant rinkinių skaičių, patogu naudotis kombinatorikos sudėties ir daugybos taisyklėmis. Rinkinių sudarymo įgūdžiai taikomi, sprendžiant tikimybių uždavinius. Mokoma(si) įvertinti atsitiktinio įvykio tikimybę, renkant duomenis apie atsitiktinį procesą ir stebint jo ilgalaikį santykinį dažnį bei gautą rezultatą palyginant su teorine šio įvykio tikimybe (pavyzdžiui, šešiasienio kauliuko ridenimas iki 600 kartų ir kauliuko atvirtimo šešiomis akutėmis stebėjimas).

III–IV gimnazijos klasių koncentras

III gimnazijos klasė

Bendrasis kursas

Skaičių aibės.

Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra.

Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis.

Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.

Realiojo skaičiaus modulis.

Skaičiaus modulis. Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka, paaiškinama jo geometrinė prasmė.

Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio savybės:

|{-}a|=|a|, \ \ \ |a|^2=a^2,\ \ \ |a-b|=|b-a|.

Mokoma(si) apskaičiuoti skaitinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti kvadratinę šaknį iš antrojo laipsnio:

\sqrt{a^2}=|a|.

Šaknys.

Apibendrinant šaknies sąvoką, pateikiamas n-tojo (n∈\mathbb{N}, n > 1) laipsnio šaknies apibrėžimas.

Išsiaiškinama, pagrindžiama, kaip iracionalieji skaičiai \sqrt a (a∈\mathbb{N}) atidedami skaičių tiesėje.

Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę duotojo iracionaliojo skaičiaus \sqrt [n] a reikšmę.

Aiškinamasi, kad n-tojo (n∈\mathbb{N},\,n>3)\) laipsnio šaknims būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų (ir veiksmų su jomis) savybės:

\sqrt [n] a \cdot \sqrt [n] b = \sqrt [n] {a \cdot b}, \ \ \ \sqrt [n] a : \sqrt [n] b = \sqrt [n] {a : b}, \ \ \ \sqrt [n] {\sqrt [m]a}= \sqrt [n \cdot m] a.

Mokoma(si) šias savybes taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, skaičių įkeliant po n-tojo laipsnio šaknimi ir iškeliant jį prieš šaknies ženklą.

Mokoma(si) trupmenos vardiklyje panaikinti iracionalumą, kai vardiklyje yra iracionalieji skaičiai

\sqrt a, \ \ \ \sqrt a + b,\ \ \ \sqrt a - b.

Laipsniai.

Aiškinama(si) laipsnio su racionaliuoju rodikliu a^{\frac{m}{n}}\ (a > 0,\ a \neq 1,\ m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N},\ n > 1) samprata, įsitikinama laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir šaknį siejančios lygybės

a^ \frac m n= \sqrt [n] {a^m}

teisingumu (keliant abi lygybės puses n-tuoju laipsniu). Mokoma(si) ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais.

Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmų su tokiais laipsniais) savybės:

a^n \cdot a^m=a^{n + m}, \ \ \ a^n : a^m=a^{n – m}, \ \ \ (a^m )^n=a^{m \cdot n},

(a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m, \ \ \ (a : b)^m=a^m : b^m.

Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti laipsnio su racionaliuoju rodikliu dešimtainę apytikslę reikšmę, taikyti laipsnių ir veiksmų su laipsniais savybes skaitiniams reiškiniams pertvarkyti.

Logaritmai.

Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus logaritmas, dešimtainis logaritmas. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę.

Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritmų tapatybė

a^{\log_a (b)}=b\ (a >0,\ b>0,\ a≠1).

Įrodomos ir pagrindžiamos veiksmų su logaritmais savybės:

\log_c⁡(a)+\log_c⁡(b)=\log_c⁡(a \cdot b),

\log_c⁡(a)-\log_c⁡(b)=\log_c⁡(a : b),

k \cdot \log_c⁡(a)=\log_c⁡(a^k )\ (a >0,\ b>0,\ c>0,\ c≠1,\ k∈\mathbb{Q}),

paaiškinant, kad šias lygybes galima taikyti ir atbulai. Mokoma(si) šias savybes taikyti, skaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes.

Sinusas, kosinusas ir tangentas.

Apibrėžiamas posūkio kampas, vienetinis apskritimas ir tangentų tiesė (x=1).

Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamas posūkio kampo sinusas ir kosinusas. Naudojantis tangentų tiese, apibrėžiamas posūkio kampo tangentas.

Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu ir tangentų tiese, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso, tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus

0^\circ, ±30^\circ, ±45^\circ, ±60^\circ, ±90^\circ, ±120^\circ, ±135^\circ, ±150^\circ, ±180^\circ, ±210^\circ, ±225^\circ, ±240^\circ, ±270^\circ, ±300^\circ, ±315^\circ, ±330^\circ, ±360^\circ.

Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai \sin⁡(α) ir \cos⁡(α) turi prasmę su visomis realiosiomis α reikšmėmis, kodėl \sin⁡(α) ir \cos (⁡α) reikšmės kartojasi kas 360^\circ ir visuomet priklauso intervalui [-1;1].

Aptariama, kodėl \tg(α) reikšmės yra intervalo (-∞;+∞) skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180^\circ.

Įrodomos formulės:

\sin⁡({-}α)=-\sin⁡(α),\ \ \ \cos⁡({-}α)=\cos⁡(α), \ \ \ \tg⁡({-}α)=-\tg⁡(α);

\sin⁡(α+360^\circ ·k)=\sin⁡(α), \ \ \ \cos⁡(α+360^\circ ·k)=\cos⁡(α),

\tg⁡(α+180^\circ ·k)=\tg⁡(α), \ \ k∈\mathbb{Z};

mokoma(si) jas taikyti.

Apibrėžiami skaičiai \arcsin(a) ir \arccos(a), pagrindžiant, kodėl \arcsin(a)∈[-90^\circ;90^\circ], \arccos(a)∈[0;180^\circ], o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę, kai a∈[-1; 1].

Apibrėžiami skaičiai \arctg(a)\ (a ∈\mathbb{R}), pagrindžiant, kodėl \arctg(a)∈(-90^\circ;90^\circ), o arktangentas turi prasmę visoje realiųjų skaičių aibėje.

Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.

Progresijos.

Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios – geometrinėmis progresijomis.

Apibrėžiamos sąvokos: skaičių sekos pirmasis narys, {n}-tasis narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka, aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis.

Randami sekos nariai rekurentiniu būdu.

Praktikuojamasi nustatyti ir pagrįsti, ar seka yra aritmetinė progresija, geometrinė progresija.

Įrodomos ir įvairiems uždaviniams spręsti taikomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos {n}-tojo nario formulės, pirmųjų {n} narių sumos formulės:

a_n=a_1+d(n-1),\ \ \ S_n= \frac {a_1 + a_n} {2} \cdot n= \frac {2a_1 + d(n - 1)} {2} \cdot n,

b_n=b_1 \cdot q^{n – 1}, \ \ \ S_n= \frac {b_1 \cdot (q^n – 1)}{q – 1}= \frac {b_n \cdot q – b_1}{q – 1} (n∈\mathbb{N}, q≠1).

Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai (pavyzdžiui, Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema).

Funkcijos.

Funkcijos samprata. Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą.

Aptariama funkcijos y=f(x)\ (x∈D_f) grafiko transformacijos samprata. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos

y=f(x)+a, \ \ \ y=f(x+a), \ \ \ y=-f(x), \ \ \ y=a⋅f(x)

formulėmis aprašomos transformacijos.

Atliekami tiriamieji, kūrybiniai darbai apie funkcijas, jų savybes, transformacijas ir jų pasireiškimą įvairaus konteksto situacijose.

Laipsninė ir šaknies funkcijos. Apibrėžiamos ir tiriamos laipsninė funkcija

y=f(x)=x^n, kai n \in \{-1; 1; 2; 3\},

šaknies funkcijos

y=f(x)=\sqrt [n] x, kai n \in \{2; 3\}.

Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas.

Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ir šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.

Rodiklinė ir logaritminė funkcijos. Apibrėžiama rodiklinė funkcija

y=f(x)=a^x\ (a>0,\ a≠1),

logaritminė funkcija

y=f(x)=\log_a⁡(x)\ (a>0,\ a≠1,\ x>0).

Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas.

Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

Trigonometrinės funkcijos. Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamos bet kokio posūkio kampo (išreikšto laipsniais) sinuso ir kosinuso funkcijos, o naudojantis tangentų tiese (x = 1), apibrėžiama tangento funkcija.

Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, rasti nurodytas sąlygas, atitinkančias argumento ir funkcijos reikšmes (pavyzdžiui, didžiausią funkcijos reikšmę nurodytame intervale). Praktikuojamasi, naudojantis grafiko eskizu, užrašyti visas argumento reikšmes, su kuriomis funkcija įgyja tam tikrą reikšmę, yra didėjančioji ar mažėjančioji, yra teigiamoji ar neigiamoji.

Mokoma(si), naudojantis sinuso, kosinuso ir tangento samprata ir (ar) pasitelkus grafinį metodą, spręsti

\sin⁡(x)=a,\ \ \ \cos⁡(x)=a,\ \ \ \tg⁡(x)=a

pavidalo lygtis.

Lygtys.

Racionaliosios lygtys. Apibendrinamos, gilinamos ir plečiamos žinios apie racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Mokoma(si) atpažinti ir spręsti

a \cdot x^n+b=0 \ (a, b – racionalieji skaičiai, n∈\{2;3;4;5\}),

f(x) \cdot g(x)=0 \ (f(x), g(x) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai)

pavidalo lygtis; lygtis, kurios suvedamos į kvadratines lygtis.

Praktikuojamasi grafiškai spręsti f(x)=g(x), kai y=f(x), y=g(x) yra tiesinė funkcija, kvadratinė funkcija, laipsninė funkcija, pavidalo lygtis.

Pasitelkus pavyzdžius, aiškinamasi, kad tikslius lygties sprendinius gauname, spręsdami algebriškai, o grafiškai dažniausiai gaunami apytiksliai sprendiniai.

Mokoma(si), sprendžiant tekstinius ar geometrijos uždavinius, sudaryti lygtį, ją išspręsti ir atrinkti uždavinio sąlygą atitinkantį atsakymą.

Iracionaliosios lygtys. Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti iracionaliąsias

b \cdot \sqrt{f(x)} +a=0,\ \ \ b \cdot \sqrt [3]{f(x)} =a

(f(x) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianaris, a, b – racionalieji skaičiai, a \neq 0) pavidalo lygtis.

Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai.

Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos iracionaliosiomis lygtimis.

Rodiklinės lygtys. Apibrėžiama rodiklinės lygties sąvoka. Mokoma(si) algebriškai spręsti rodiklines lygtis, suvedant jas į pavidalą:

a^{f(x)} =a^r\ (r∈\mathbb{Q}),\ \ \ a^{f(x)} =a^{g(x)}

(f(x), g(x) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai).

Praktikuojamasi rodiklines lygtis spręsti grafiškai.

Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos rodikline funkcija, pavyzdžiui:

f(n)=k \cdot a^n,\ \ \ S(n) = S_0 \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100} \right)^n.

Logaritminės lygtys. Apibrėžiama logaritminės lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti logaritmines

\log_a(⁡f(x))+b=0,\ \ \ \log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))

(f(x) \text{ ir } g(x) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai) lygtis.

Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį).

Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos logaritminėmis lygtimis.

Tekstiniai uždaviniai. Apibendrinamos ir gilinamos žinios algebriškai sprendžiant įvairias dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.

Mokoma(si) įvairaus konteksto situacijas modeliuoti lygčių sistemomis.

Nelygybės.

Racionaliosios nelygybės. Nagrinėjant kvadratines nelygybes, atskleidžiama intervalų metodo esmė. Paaiškinama, kad intervalų metodą patogu taikyti, sprendžiant ir kitas nelygybes.

Apibrėžiama racionaliosios nelygybės sąvoka.

Mokoma(si) spręsti paprastas trupmenines racionaliąsias nelygybes intervalų metodu.

Praktikuojamasi spręsti paprastas nelygybių sistemas (su vienu nežinomuoju), kurių viena nelygybė yra tiesinė, o kita – kvadratinė arba trupmeninė racionalioji.

Rodiklinės nelygybės. Apibrėžiamos rodiklinės nelygybės.

Mokoma(si) spręsti rodiklines nelygybes, kurių bendri pavidalai yra

a^{f(x)} ⋛a^r (r∈\mathbb{Z}),\ \ \ a^{f(x)} ⋛a^{g(x)}

((f(x) ir g(x) – ne aukštesnio negu pirmojo laipsnio vienanariai, dvinariai).

Logaritminės nelygybės. Apibrėžiamos logaritminės nelygybės.

Mokomasi spręsti logaritmines nelygybes, kurių bendri pavidalai yra

\log_a⁡(x)⋛b, \ \ \log_a⁡(f(x))⋛ \log_a⁡(g(x))

((f(x), g(x) – ne aukštesnio negu pirmojo laipsnio vienanariai, dvinariai).

Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.

Išplėstinis kursas

Skaičių aibės.

Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra.

Pateikiami baigtinių ir begalinių; diskrečiųjų ir tolydžiųjų (intervalų) skaičių aibių pavyzdžiai.

Mokoma(si) reiškiniu užrašyti natūraliųjų skaičių, kuriuos dalijant iš nurodyto natūraliojo skaičiaus d gaunama nurodyta liekana r, aibę:

n \cdot d+r,\ \ \ n ∈\mathbb{N}.

Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.

Realiojo skaičiaus modulis.

Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka ir paaiškinama jo geometrinė prasmė.

Braižomas y=|x| grafiko eskizas.

Mokoma(si) užrašyti lygties |x|=a ir nelygybės |x|⋚a\ (a∈\mathbb{R}) sprendinių aibes.

Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio (ir veiksmų su moduliais) savybės:

|{-}a|=|a|, \ \ \ |a|^2=a^2,\ \ \ |a-b|=|b-a|,\ \ \ |a \cdot b|=|a|\cdot |b|,\ \ \ |a\ ∶\ b|=|a|\ ∶\ |b|.

Mokoma(si) apskaičiuoti skaitinių ir raidinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti lyginio laipsnio šaknį iš lyginio laipsnio:

\sqrt {a^2} =|a|\ \ ir \ \ \sqrt [2n] {a^{2n}} = |a|, kai n∈\mathbb{N}.

Laipsniai.

Įrodomos dvinario trečiojo laipsnio formulės (sumos ir skirtumo kubo). Mokoma(si) naudotis šiomis formulėmis, dvinarį keliant trečiuoju laipsniu ir daugianarį skaidant dauginamaisiais.

Aiškinama(si) laipsnio su racionaliuoju rodikliu a^{\frac{m}{n}}\ (a > 0, a \neq 1,\ m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N},\ n > 1) samprata, įsitikinama laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir šaknį siejančios lygybės

a^ \frac m n= \sqrt [n] {a^m}

teisingumu (keliant abi lygybės puses n-tuoju laipsniu).

Aiškinama(si), kada (ir kodėl) tokie laipsniai neturi prasmės.

Mokoma(si) nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis laipsnis su racionaliuoju rodikliu, palyginti tokius laipsnius, naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo laipsnio su racionaliuoju rodikliu reikšmę.

Pagrindžiama ir įrodoma, kad laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmų su tokiais laipsniais) savybės:

a^b \cdot a^c=a^{b + c},\ \ \ a^b\ ∶\ a^c=a^{b – c},\ \ \ (a^b )^c=a^{b \cdot c},

(a \cdot b)^c=a^c\cdot b^c,\ \ \ (a\ ∶\ b)^c=a^c\ ∶\ b^c,\ \ \ {(\sqrt [n]a)}^m= \sqrt [n] {a^m},\ \ \ |a|^{2n}=a^{2n}\ (n \in \mathbb{N}).

Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti laipsnio reikšmę, taikyti laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes skaitiniams ir raidiniams reiškiniams pertvarkyti.

Šaknys.

Įrodoma, kad skaičius \sqrt 2 yra iracionalusis.

Apibendrinama šaknies sąvoka, pateikiant n-tojo (n∈\mathbb{N},n>1) laipsnio šaknies apibrėžimą.

Aiškinama(si), kada n-tojo laipsnio šaknys turi prasmę.

Mokoma(si), nesinaudojant skaičiuotuvu, nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis iracionalusis skaičius \sqrt [n] a, palyginti tokio pavidalo skaičius; naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo iracionaliojo skaičius \sqrt [n] a reikšmę.

Aiškinamasi, kad n-tojo (n∈\mathbb{N},n>3) laipsnio šaknims ir veiksmams su jomis būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų ir veiksmų su jomis savybės:

\sqrt[n]a \cdot \sqrt[n]b=\sqrt[n]{a \cdot b},\ \ \ \sqrt[n]a : \sqrt[n]b=\sqrt[n]{a : b} \ (b≠0),

\sqrt [n]{\sqrt [m]a}=\sqrt [n \cdot m]a\ (n, m∈\mathbb{N},n, m>1);

\sqrt[2n] {a^{2n}}=|a|,\ \ \ \sqrt [2n+1] {a^{2n+1}}=a \ (n∈\mathbb{N}).

Mokoma(si) šias savybes pagrįsti, įrodyti ir taikyti skaičiuojant skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, naikinant šaknis trupmenos vardiklyje, kai vardiklyje yra

\sqrt a,\ \ \ \sqrt a ±b,\ \ \sqrt a ± \sqrt b,\ \ \ \sqrt [3]a,

pertvarkant raidinius reiškinius su šaknimis.

Logaritmai.

Apibrėžiama skaičiaus logaritmo sąvoka.

Įvedamas iracionalusis skaičius e.

Apibrėžiama dešimtainio ir natūraliojo logaritmo sąvoka.

Aptariama, kokioms skaičių aibėms priklauso su log ženklu rašomi skaičiai. Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę.

Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritminė tapatybė

a^{\log_a (b)}=b\ (a >0,\ b>0,a≠1).

Pagrindžiamos veiksmų su logaritmais savybės:

\log_c⁡(a)+\log_c⁡(b)=\log_c⁡(a\cdot b),

\log_c⁡(a)-\log_c⁡(b)=\log_c⁡(a\ ∶\ b),

d \cdot \log_c⁡(a)=\log_c⁡(a^d),

\frac {\log_c⁡(a)} {\log_c(⁡b)} =\log_b⁡(a),

\frac 1 {t } \cdot \log_b⁡(a)=\log_{(b^t)}⁡(a);

čia a >0,b>0,c>0,c≠1, t≠0.

Mokoma(si) šias savybes įrodyti ir taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes bei pertvarkant raidinius logaritminius reiškinius.

Sinusas, kosinusas ir tangentas.

Apibrėžiamas vienetinis apskritias, posūkio kampas, tangentų tiesė bei posūkio kampo sinusas, kosinusas ir tangentas.

Aiškinamasi, kad kampų dydžiai gali būti reiškiami ne tik laipsnių skaičiumi, bet ir radianų skaičiumi. Mokoma(si) laipsnių skaičių keisti radianų skaičiumi ir atvirkščiai – radianų skaičių keisti laipsnių skaičiumi.

Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu bei tangentų tiese, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus

Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai \(\sin⁡(α)\) ir \(\cos⁡(α)\) turi prasmę su visomis \(⁡α\) realiosiomis reikšmėmis, kodėl \(\sin⁡(α)\) ir \(\cos⁡(α)\) reikšmės kas 360^\circ kartojasi ir visuomet priklauso intervalui [-1;1].

Aptariama, kodėl \(\tg⁡(α)\) reikšmės yra intervalo \((-∞;+∞)\) skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180^\circ.

Įrodomos formulės:

\sin⁡(-α)=-\sin⁡(α),\ \ \ \cos⁡(-α)=\cos⁡(α), \ \ \ \tg⁡(-α)=-\tg⁡(α);

\sin⁡(α+2πk)=\sin⁡(α),\ \ \ \cos⁡(α+2πk)=\cos⁡(α), \ \ \ \tg⁡(α+πk)=\tg⁡(α);

čia k∈\mathbb{Z}.

Mokoma(si) šias formules taikyti.

Apibrėžiami skaičiai \arcsin(a) ir \arccos(a), pagrindžiant, kodėl \arcsin(a)∈[-\frac π2; \frac π2], \arccos(a) ∈[0; π], ir arksinusas bei arkkosinusas turi prasmę, kai a∈[-1;1].

Apibrėžiami skaičiai \arctg(a), pagrindžiant, kodėl \arctg(a)∈(-\frac π2; \frac π2) ir arktangentas turi prasmę, kai a∈\mathbb{R}.

Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles (naudojantis skaičiuotuvu) sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.

Progresijos.

Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios – geometrinėmis progresijomis.

Apibrėžiamos sąvokos: pirmasis skaičių sekos narys, n-tasis skaičių sekos narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka, aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis, aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė ir geometrinės progresijos n-tojo nario formulė.

Nagrinėjamos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės:

a_n=a_1+d(n-1),\ \ \ a_{n+1}=\frac {a_{n} + a_{n + 2}}2,

S_n=\frac {a_1 + a_n}2 \cdot n=\frac {2a_1 \ + \ d(n-1)}2 \cdot n (n∈\mathbb{N}, d≠0);

b_n=b_1 \cdot q^{n-1},\ \ \ |b_{n+1}|=\sqrt{b_{n} \cdot b_{n+2}},

S_n=\frac {b_1 \cdot (q^n-1)}{q-1}=\frac {b_n \cdot q-b_1}{q-1}\ \ (n∈\mathbb{N}, q≠1).

Įrodomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės (n-tojo nario, viduriniojo nario, pirmųjų n narių sumos).

Apibrėžiama, kokios geometrinės progresijos vadinamos nykstamosiomis.

Nagrinėjant nykstamąją geometrinę progresiją

\frac 12,\frac 14,\frac 18, … ,\frac 1{2^n} , …(n∈\mathbb{N}, n\to \infty ),

jos suma \frac 12+\frac14+\frac18+ …=1 pagrindžiama geometriškai.

Nagrinėjant begalinę dešimtainę periodinę trupmeną 0{,}(9), įsitikinama, kad ją galima užrašyti kaip begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumą, ir įrodoma, kad

0{,}(9)=1.

Įrodoma nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulė

S=\frac {b_1}{1-q}

ir mokomasi ja naudotis, sprendžiant uždavinius.

Sprendžiami su aritmetine progresija ir geometrine progresija susiję realaus turinio uždaviniai.

Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai: Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema.

Funkcijos.

Funkcijos samprata. Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes.

Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą.

Įvedama sudėtinės funkcijos sąvoka, pateikiama tokių funkcijų pavyzdžių, mokomasi iš duotųjų funkcijų sudaryti sudėtines funkcijas.

Nagrinėjamos funkcijų grafikų transformacijos ir mokomasi, naudojantis žinomu funkcijos y=f(x) grafiku, nubraižyti transformuotos funkcijos grafiką.

Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos tokiomis formulėmis aprašomos transformacijos:

y=f(x)+a, \ \ \ y=f(x+a),\ \ \ y=-f(x),\ \ \ y=a⋅f(x),

y=f(-x), \ \ \ y=f(a⋅x), \ \ \ y=|f(x)|.

Skaitiniais pavyzdžiais aiškinama, grafiškai iliustruojama funkcijos y=f(x) ribos apibrėžimo srities vidiniame taške (x=a) sąvoka (\lim\limits_{x\to\ a}f(x)) ir ribos, kai x reikšmės neaprėžtai didėja, mažėja (x→±∞) sąvoka (\lim\limits_{x\to\ ±∞}f(x)).

Pateikiami ir aptariami ribų skaičiavimo pavyzdžiai, pavyzdžiui:

\lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}, \ \ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = +0,\ \ \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = -0,\ \ \lim\limits_{x \to +0} \frac{1}{x} = +\infty,\ \ \lim\limits_{x \to -0} \frac{1}{x} = -\infty.

Mokoma(si) naudotis funkcijų grafikų eskizais, grafiškai sprendžiant lygtis, nelygybes ir dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.

Laipsninė ir šaknies funkcijos. Tiriamos paprasčiausios natūraliojo laipsnio funkcijos

y=f(x)=x^n \ \ (n∈\mathbb{N}),

aptariant lyginio ir nelyginio laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus; paprasčiausių neigiamo sveikojo laipsnio funkcijų

y=f(x)=x^{-n}\ \ (n∈{\{1;2;3;4\}})

savybes ir grafikų eskizus.

Tiriamos funkcijos

y=f(x)=\sqrt[n]x \ \ (n∈\mathbb{N},n>1),

aptariant lyginio ir nelyginio šaknies laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus.

Mokoma(si) užrašyti šaknies funkcijos y=f(x)=\sqrt [n]x \ \ (n∈\mathbb{N},n>1) formulę, kai yra žinomos grafikui priklausančio taško, nesutampančio su tašku (1;1), koordinatės.

Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, nagrinėjama, kaip kinta laipsninės ir šaknies funkcijų grafikai, priklausomai nuo laipsnio rodiklio ir šaknies laipsnio. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti lygtis ir nelygybes

a\cdot f(kx+b) +c ⋛ 0\ \ (a, k, b, c∈\mathbb{R}, a, k \neq 0),

čiaf(x) = x^n \ (n \in \{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, \dots\}), f(x) = \sqrt[n]{x} \ (n∈\mathbb{N},n>1).

Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ar šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.

Rodiklinė ir logaritminė funkcijos. Apibrėžiama rodiklinė funkcija

y=f(x)=a^x \ \ (a>0,a≠1),

logaritminė funkcija

y=f(x)=\log_a⁡(x) \ \ (a>0, a≠1).

Išsiaiškinami charakteringi taškai, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti lygtis ir nelygybes

a\cdot f(kx+b) +c ⋛ 0\ \ (a, k, b, c∈\mathbb{R}, a, k \neq 0),

čia f(x) = d^x , f(x)=\log_t(x) \ (t>0,t≠1).

Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

Trigonometrinės funkcijos. Nagrinėjamos pagrindinės trigonometrinės funkcijos

y=f(x)=\sin⁡(x), \ \ \ y=f(x)=\cos⁡(x), \ \ \ y=f(x)=\tg⁡(x).

Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Mokoma(si) rasti funkcijos apibrėžimo, reikšmių sritis, vaizduoti funkcijos grafiko eskizą, nustatyti funkcijos lyginumą, nustatyti funkcijos mažiausiąjį teigiamąjį periodą, rasti funkcijos nulius, rasti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes visoje apibrėžimo srityje ir nurodytame uždarame apibrėžimo srities intervale, rasti funkcijos apibrėžimo srities reikšmes, kurioms esant funkcija yra didėjančioji ar mažėjančioji, yra teigiamoji ar neigiamoji.

Mokoma(si) nustatyti funkcijos

y=a\cdot f(kx+b)+c\ \ (a,k,b,c∈\mathbb{R}, a,k≠0; \ f(x) = \sin (x), \cos (x), \tg (x))

savybes.

Mokoma(si) grafiškai spręsti lygtis ir nelygybes

a\cdot f(kx+b)+c⋛0\ \ (a,k,b,c∈\mathbb{R},a,k≠0;\ f(x) = \sin (x), \cos (x), \tg (x)).

Lygtys.

Racionaliosios lygtys. Įvedama lygties su parametru sąvoka, mokomasi rasti pirmojo ir antrojo laipsnio parametrinių lygčių

ax+b=0,\ \ ax^2+bx+c=0\ \ (a,b,c∈\mathbb{R})

sprendinius.

Nagrinėjamos aukštesnio negu antrojo laipsnio lygtys, kurias galima spręsti, suteikiant pavidalą

(ax+b)(cx+d)\cdots(kx+q)=0,

t. y. lygties f(x)=0 reiškinį f(x) skaidant dauginamaisiais.

Sprendžiamos bikvadratinės lygtys.

Mokoma(si) spręsti lygtis, suteikiant pavidalą

\frac{f(x)}{g(x)} =0.

Aptariama, kad trupmeninę racionaliąją lygtį \frac{f(x)}{g(x)} =0 galima spręsti naudojantis trupmenos lygios 0 savybe; naikinant vardiklius, t. y. ją dauginant iš lygtį sudarančių trupmenų bendrojo vardiklio. Analizuojama, kuo šie abu būdai skiriasi.

Iracionaliosios lygtys. Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Nagrinėjamos iracionaliosios lygtys, kurioms galima suteikti pavidalą

\sqrt{f(x)}=g(x),\ \sqrt{f(x)}=\sqrt {g(x)}+a.

Mokoma(si) spręsti nesudėtingas iracionaliąsias lygtis

\sqrt[n]{f(x)}=a \ (n=3, 4,…).

Rodiklinės lygtys. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinama(si), kad tokias lygtis patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą

a^{f(x)} =a^{g(x)} \ \ (a>0,a≠1).

Mokoma(si) spręsti rodiklines lygtis

t\cdot a^{2x} + k\cdot a^x+ p=0\ \ (t, k, p∈\mathbb{R}),

kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.

Logaritminės lygtys. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo (-ų) reiškinyje (-iuose). Aiškinama(si), kad tokias lygtis patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą

\log_a(⁡f(x))=\log_a⁡(g(x)).

Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį).

Nagrinėjamos nesudėtingos logaritminės lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo (-ų) pagrindo reiškinyje (-iuose), logaritmo reiškinyje ir logaritmo pagrindo reiškinyje. Mokoma(si) spręsti logaritmines lygtis, kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.

Lygtys su moduliais. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą

|f(x)|=a,\ \ \ |f(x)|=g(x).

Mokoma(si) tokias lygtis spręsti, naudojantis modulio samprata.

Lygčių sistemos. Prisimenama, kad lygtyje gali būti ir daugiau negu vienas nežinomasis. Pateikiama tokių lygčių su dviem nežinomaisiais pavyzdžių:

ax+by+c=0\ \ (a,b,c∈\mathbb{R}) – tiesės lygtis;

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 – apskritimo lygtis (a, b – apskritimo centro koordinatės, {r} – apskritimo spindulio ilgis);

mokomasi rasti ir užrašyti tokios lygties kelis sprendinius bei visų sprendinių aibę.

Mokoma(si) spręsti daugiau negu dviejų lygčių su daugiau negu dviem nežinomaisiais sistemas. Nagrinėjami ir sprendžiami tekstiniai uždaviniai, kuriuos sprendžiant gaunamos tokios sistemos.

Nelygybės.

Racionaliosios nelygybės. Aiškinamasi intervalų metodo esmė ir universalumas. Nagrinėjamos antrojo laipsnio, aukštesnio negu antrojo laipsnio nelygybės, praktikuojamasi jas spręsti intervalų metodu. Mokoma(si) trupmenines racionaliąsias nelygybes spręsti, suteikiant pavidalą \frac{f(x)}{g(x)} ⋛0, naudojantis intervalų metodu arba nelygybę keičiant nelygybių sistemų visuma. Mokoma(si) spręsti dviejų ar daugiau racionaliųjų nelygybių sistemas bei mišrias lygčių ir nelygybių (su vienu nežinomuoju) sistemas.

Rodiklinės nelygybės. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinama(si), kad tokias nelygybes patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą

a^{f(x)} ⋛a^{g(x)},

o tada pereinant prie rodiklių nelygybės.

Logaritminės nelygybės. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra logaritmo (logaritmų) reiškinyje (reiškiniuose). Aiškinama(si), kad tokias nelygybes patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą

\log_a(⁡f(x))⋛\log_a⁡(g(x)),

o tada pereinant prie logaritmų reiškinių nelygybės. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.

Nelygybės su moduliais. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą

|f(x)|⋛a, \ \ |f(x)|⋛g(x).

Mokoma(si) tokias nelygybes spręsti, naudojantis modulio samprata.

Plokštumos vektoriai ir veiksmai su jais.

Apibrėžiamas kampas tarp vektorių. Apibrėžiama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokoma(si) skaliariškai dauginti vektorius. Įrodoma, kad vektoriaus kvadratas (vektoriaus skaliarinė sandauga su pačiu savimi) yra lygus vektoriaus ilgio kvadratui. Primenama, kaip randama vektorių suma (naudojantis trikampio ir lygiagretainio taisyklėmis; paaiškinama daugiakampio taisyklė), vektorių skirtumas, vektoriaus ir skaičiaus sandauga. Mokoma(si) nurodytą daugiakampio vektorių išreikšti kitais nurodytais to daugiakampio vektoriais. Apibrėžiama ir paaiškinama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokoma(si) skaliariškai dauginti vektorius, pabrėžiant, kad skaliarinės sandaugos rezultatas yra skaičius, o ne vektorius. Veiksmams su vektoriais taikomos žinomos veiksmų su skaičiais savybės:

\vec a +\vec b=\vec b +\vec a ,\ \ \ \vec a+(\vec b +\vec c )=(\vec a +\vec b)+\vec c,\ \ \ c\cdot(\vec a +\vec b )=c\cdot\vec{a}+c\cdot\vec{b},

\vec a\cdot \vec b =\vec b\cdot \vec a, \ \ \ (c\cdot \vec a )\cdot \vec b=c\cdot (\vec a\cdot \vec b),\ \ \ (\vec a+\vec b )\cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c +\vec b \cdot \vec c.

Vektoriai stačiakampėje koordinačių plokštumoje.

Mokoma(si) nusakyti vektorių, nurodant jo pradžios ir pabaigos koordinates; apibrėžiant koordinačių plokštumos taško vietos vektorių ir mokantis bet kurį koordinačių plokštumos vektorių išreikšti jam lygiu taško vietos vektoriumi.

Mokoma(si) apskaičiuoti vektoriaus ilgį ir įrodyti vektoriaus ilgio formulę.

Mokoma(si) apskaičiuoti vektorių sumą, skirtumą, sandaugą su skaičiumi bei skaliarinę sandaugą, paaiškinant atliekamų veiksmų prasmingumą.

Apibrėžiami koordinačių ašių vienetiniai vektoriai ir mokoma(si) jais reikšti koordinačių plokštumos vektorius.

Apibrėžiami kolinearieji ir statmenieji vektoriai. Analizuojamos dviejų vektorių kolinearumo ir statmenumo sąlygos bei sprendžiami su šiais faktais susiję uždaviniai.

IV gimnazijos klasė

Bendrasis kursas

Trigonometrinės lygtys.

Mokomasi tapačiai pertvarkyti skaitinius ir raidinius reiškinius, taikant formules:

\sin^2 (α)+\cos^2 (α)=1,\ \ \tg⁡(α)= \frac {\sin⁡ (α)} {\cos⁡ (α)},

\sin⁡(-α)=-\sin⁡ (α),\ \ \cos⁡(-α)=\cos⁡ (α),\ \ \tg⁡(-α)=-\tg⁡(α), \ \ \ 1+\tg^2 (α)= \frac {1} {\cos^2 (α)},

\sin⁡(α+360° \cdot k)=\sin⁡(α),\ \ \cos⁡(α+360° \cdot k)=\cos⁡(α),\ \ \tg⁡(α+180° \cdot k)=\tg(⁡α), k \in \mathbb{Z}.

Nagrinėjami situacijų, kai sudaromos ir sprendžiamos trigonometrinės lygtys, pavyzdžiai.

Aptariama, kada patogu trigonometrines lygtis spręsti algebriniu būdu.

Pateikiamos ir aptariamos lygčių

\sin⁡(x)=a\ (a \in [-1; 1]), \ \ \ \cos⁡(x)=a\ (a \in [-1; 1]),\ \ \ \tg(⁡x)=a\ (a ∈ \mathbb{R})

sprendinių formulės.

Mokoma(si) spręsti

a \cdot f(x)+b=0; čia f(x)= \sin(⁡x), \cos (x), \tg (x);\ a, b ∈ \mathbb{R}, \ a ≠0,

pavidalo lygtis.

Praktikuojamasi rasti trigonometrinės lygties sprendinius nurodytame intervale.

Funkcijos išvestinė.

Funkcijos išvestinės samprata. Aiškinama(si), ką vadiname funkcijos argumento pokyčiu ir funkcijos reikšmės pokyčiu. Šių pokyčių santykis \frac {∆y} {∆x} susiejamas su tiesės y=kx+b krypties koeficientu k ir paaiškinama, kaip su juo susijęs funkcijos reikšmių kitimas.

Apibrėžiama tolydžios funkcijos y=f(x) grafiko liestinės, einančios per nurodytą grafiko tašką, sąvoka, paaiškinama, kaip per grafiko tašką (a;f(a)) einanti liestinė apibūdina funkcijos reikšmių kitimą pereinant šį tašką (geometrinė išvestinės prasmė).

Pateikiamas funkcijos y=f(x) išvestinės taške, kurio x=a, ryšys su tame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinės krypties koeficientu (k= f' (a)).

Formuluojamas funkcijos y=f(x) išvestinės taške x=a apibrėžimas, išvestinės funkcijos y=f' (x) apibrėžimas.

Naudojantis funkcijos išvestinės apibrėžimu, mokomasi rasti pastoviosios, tiesinės ir kvadratinės funkcijų išvestines.

Be įrodymo pateikiama laipsninės funkcijos y=f(x)=x^n \ (n ∈\mathbb{Z}) išvestinės radimo taisyklė ir taisyklės, kuriomis naudojantis galima apskaičiuoti išvestines:

(a \cdot f(x))'=a\cdot f' (x),

(f(x)+g(x))'=f' (x)+g' (x),

((f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x).

Mokoma(si) apskaičiuoti funkcijos išvestinės reikšmę duotame taške, spręsti lygtį f'(x)=a.

Nagrinėjant konkrečius pavyzdžius, aptariama fizikinė išvestinės prasmė.

Funkcijos savybių tyrimas, naudojantis išvestine. Apibrėžiamos sąvokos: funkcijos kritiniai, ekstremumo (minimumo ir maksimumo) taškai, ekstremumai.

Išsiaiškinama, kodėl ir kaip, naudojantis išvestine, galima surasti funkcijos apibrėžimo srities intervalus, kuriuose funkcija yra didėjančioji, mažėjančioji, pastovioji, funkcijos ekstremumus, didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes uždarame intervale.

Tiriamos funkcijų, išreiškiamų ne aukštesnio negu trečiojo laipsnio daugianariu, savybės, braižomi jų grafikų eskizai.

Praktikuojamasi taikyti išvestines, sprendžiant optimizavimo uždavinius.

Tiesės, plokštumos, kampai erdvėje.

Susipažįstama su stereometrijos aksiomomis:

per bet kuriuos du taškus eina vienintelė tiesė; per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, eina vienintelė plokštuma; jei du tiesės taškai priklauso plokštumai, tai ir tiesė priklauso plokštumai; jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę, kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taškai.

Aptariamos teoremos:

per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias tieses eina vienintelė plokštuma; per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma.

Mokomasi taikyti šias teoremas.

Tyrinėjama ir apibrėžiama, kokios gali būti tiesės ir plokštumos, dviejų plokštumų tarpusavio padėtys.

Nagrinėjami atstumai ir kampai erdvėje:

atstumas tarp dviejų taškų, tarp taško ir tiesės, taško ir plokštumos, dviejų lygiagrečių tiesių, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejų lygiagrečių plokštumų; kampai tarp susikertančių ir tarp prasilenkiančių tiesių, tarp tiesės ir plokštumos.

Apibrėžiamas dvisienis kampas, mokomasi jį rasti ar pavaizduoti brėžinyje, modelyje.

Apibrėžiama, kokia tiesė vadinama statmeniu plokštumai, įrodomas tiesės ir plokštumos statmenumo požymis.

Apibrėžiama pasviroji plokštumai ir jos statmenoji projekcija plokštumoje.

Įrodomas tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis.

Mokoma(si) šias žinias taikyti, nagrinėjant paprasčiausias realias situacijas, sprendžiant paprasčiausius uždavinius.

Briaunainiai, sukiniai.

Apibrėžiamos sąvokos: sukinys, briaunainis.

Mokomasi atpažinti erdvės figūras: stačiąsias prizmes, piramides, ritinius, kūgius ir rutulius.

Išsiaiškinama, kaip brėžinyje tinkamai pavaizduoti taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižinį pjūvį, taisyklingosios keturkampės piramidės įstrižinį pjūvį, ritinio ir kūgio ašinius pjūvius.

Sprendžiami su erdvės figūrų pjūvio plotu, paviršiaus plotu ir tūriu susiję uždaviniai.

Susipažįstama su taisyklingųjų briaunainių, sukinių pasireiškimo gamtoje ir žmogaus veikloje pavyzdžiais.

Įvadas į statistinę duomenų analizę.

Susipažįstama su statistinės duomenų analizės procesais, kurių metu nustatomas statistinio tyrimo klausimas, renkami, tvarkomi, analizuojami atitinkami duomenys, interpretuojami analizės rezultatai bei daromos išvados. Akcentuojama, kad duomenų analizė yra plačiai taikoma įvairiose srityse, pavyzdžiui, verslo, sveikatos priežiūros, finansų, bei moksliniuose tyrimuose.

Paaiškinama, kad funkcijos gali būti naudojamos duomenims apibūdinti, o jei duomenys susiję tiesiniu ryšiu, tai tas ryšys gali būti modeliuojamas tiese ir šio ryšio stiprumas ir kryptis išreikšti koreliacijos koeficientu. Išsiaiškinama, kad svarbi šio modelio (tiesės) charakteristika – determinacijos koeficientas (R kvadratas). Mokomasi, jį žinant (suradus), priimti sprendimą dėl gauto modelio tinkamumo duomenims aprašyti.

Mokiniai išsiaiškina, kad statistinės analizės tikslas – ištyrus dalį respondentų (imtį), padaryti pagrįstą išvadą apie visą populiaciją.

Aptariami kintamojo, kintamojo matavimo skalių bei duomenų tipai.

Mokoma(si) praktiškai, naudojant skaitmenines technologijas, apskaičiuoti duomenų rinkinio vidurkį, standartinį nuokrypį, interpretuoti, kaip jie charakterizuoja imtį.

Nagrinėjami pavyzdžiai, kai sprendimui dėl kintamųjų ryšio ir jo stiprumo priimti naudojama koreliacija. Atkreipiamas dėmesys, kad koreliacija nepaaiškina priežastingumo. Išsiaiškinama, kaip priimamas sprendimas, kuris kintamasis vadinamas priklausomu kintamuoju, o kuris – aiškinamuoju.

Skaitmeninių technologijų pagalba mokomasi duomenis vaizduoti grafiškai (vizualizuoti).

Mokoma(si) diskutuoti apie statistinio tyrimo struktūrą, duomenų rinkimo sąlygas ir būdą, duomenų analizei taikytus metodus, duomenų santraukas ir padarytas išvadas.

Sprendžiant uždavinius, naudojamasi tikimybės apibrėžimu ir tikimybių savybėmis:

būtinojo įvykio tikimybė \mathbf{P}(\mathrm{būtinojo}) = 1 ,

negalimojo įvykio \mathbf{P}(\mathrm{negalimojo}) = 0 ,

vienas kitam priešingų įvykių tikimybių suma \mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(\overline{A})=1.

Nagrinėjami paprasčiausi dviejų trijų etapų bandymai (stochastiniai bandymai) ir su jo etapais susiję nepriklausomi ar priklausomi įvykiai (negrąžintinio ir grąžintinio ėmimo atvejai).

Braižomi tikimybių medžiai ir analizuojami su bandymu susiję nesutaikomi įvykiai, mokomasi be formulių apskaičiuoti įvykių

„{A} arba {B}“, „{A} ir {B}“

tikimybes, atkreipiamas dėmesys į jungtukų „ir“ bei „arba“ esmę.

Aptariama, kokie bandymo (stochastinio bandymo) įvykiai vadinami elementariais, o kokie – sudėtiniais.

Mokoma(si) atpažinti ir formuluoti su bandymu susijusius sudėtinius įvykius, apskaičiuoti jų tikimybes.

Nagrinėjant pavyzdžius, aptariama, kokie įvykiai vadinami nesutaikomais, sutaikomais. Mokoma(si) tokiems įvykiams palankias baigtis pavaizduoti Veno diagramomis, galimybių medžiais, galimybių lentelėmis.

Praktikuojamasi apskaičiuoti įvykių tikimybes.

Išplėstinis kursas

Trigonometrinės lygtys ir nelygybės.

Mokomasi įrodyti trigonometrines formules:

1+\tg^2 (α)= \frac {1} {\cos^2 (α)},

\sin⁡(α±β)=\sin⁡(α)\cos⁡(β) ±\cos⁡(α)\sin(⁡β),

\cos⁡(α±β)=\cos⁡(α)\cos⁡(β)∓\sin(⁡α)\sin⁡(β),

\tg⁡(α±β)=\frac{ \tg⁡(α)±\tg⁡(β)}{1∓\tg(⁡α)\tg⁡(β)},

\tg⁡(2α)= \frac {2 \tg⁡(α)} {1-\tg^2 (α)},

\sin⁡(2α)=2 \sin⁡(α)\cos⁡(α),

\cos⁡(2α)=\cos^2 (α)-\sin^2 (α).

Naudojantis trigonometrinėmis formulėmis, mokoma(si) tapačiai pertvarkyti trigonometrinius reiškinius.

Nagrinėjami situacijų, kai sudaromos ir sprendžiamos trigonometrinės lygtys, pavyzdžiai. Pateikiamos ir aptariamos lygčių

\sin⁡(x)=a\ (a \in [-1; 1]), \ \ \ \cos(⁡x)=a\ (a \in [-1; 1]), \ \ \ \tg (x)=a\ (a∈\mathbb{R})

sprendinių formulės ir mokoma(si) jomis naudotis, sprendžiant lygtis, kurias galima pertvarkyti į pavidalą:

a \cdot f(kx+b)+c=0\ \ (a,k,b,c∈\mathbb{R},a,k≠0; f(x)= \sin(⁡x), \cos⁡(x), \tg⁡(x));

(a \cdot f(x)+b)(c \cdot g(x)+d)=0\ \ (a,b,c,d∈\mathbb{R},a,c≠0; f(x)= \sin⁡(x), \cos(⁡x), \tg(x)).

Mokoma(si) rasti sprendinius trigonometrinių nelygybių, kurias galima pertvarkyti į pavidalą:

a \cdot f(x)+b⋛0\ \ (a,b∈\mathbb{R},a≠0; f(x)=\sin⁡(x), \cos⁡(x), \tg(⁡x)).

Praktikuojamasi rasti trigonometrinės lygties sprendinius nurodytame intervale.

Funkcijos išvestinė.

Tolydžios funkcijos ir jos ribos samprata. Analizuojama tolydžiosios funkcijos, visuose funkcijos apibrėžimo srities intervaluose, samprata. Formuluojami teiginiai apie tolydžių funkcijų sumos (skirtumo), sandaugos ir dalmens tolydumą.

Apibrėžiama tolydžios funkcijos ribos samprata, kai funkcijos argumento reikšmės artėja prie duotosios reikšmės ir kai funkcijos argumento reikšmės tolsta į begalybę (\(±∞\)).

Formuluojamos ir aiškinamos funkcijų ribų skaičiavimo taisyklės (ribų savybės): funkcijų sumos (skirtumo), sandaugos ir dalmens.

Funkcijos išvestinės samprata. Nagrinėjama funkcijos nepriklausomojo kintamojo (argumento) pokytis ir priklausomojo kintamojo (funkcijos reikšmės) pokytis bei šių pokyčių santykis; tolydžios funkcijos y=f(x) grafiko liestinės, nubrėžtos per grafiko tašką (a;f(a)), sąvoka.

Pateikiamas funkcijos y=f(x) išvestinės taške x=a apibrėžimas; išvestinės funkcijos y=f' (x) apibrėžimas; grafiko liestinės (y=kx+b), einančios per grafiko tašką, kuriame x=a, krypties koeficiento ir funkcijos išvestinės taške x=a ryšys (k= f' (a)); išvedama liestinės lygtis.

Naudojantis funkcijos y=f(x) išvestinės funkcijos y=f' (x) apibrėžimu, mokoma(si) rasti tiesinės y=f(x)=kx+b ir kvadratinės y=f(x)=ax^2+bx+c funkcijų išvestines, funkcijos grafiko liestinės, nubrėžtos per grafiko tašką (a;f(a)), lygtį.

Nagrinėjant judėjimus (pastoviu greičiu ir su pagreičiu), aptariama funkcijos išvestinės fizikinė prasmė.

Išvestinių skaičiavimas. Naudojantis funkcijos išvestinės apibrėžimu, įsitikinama, kad skaičiaus (konstantos) išvestinė lygi 0, t. y.

c'=0;

skaičiaus ir funkcijos reiškinio f(x) sandaugos išvestinė lygi skaičiaus ir funkcijos reiškinio f(x) išvestinės sandaugai, t. y.

(c\cdot f(x))' =c \cdot f' (x);

funkcijų reiškinių sumos (skirtumo) išvestinė lygi funkcijų reiškinių išvestinių sumai (skirtumui), t. y.

(f(x)±g(x))' =f' (x)±g' (x);

funkcijų reiškinių sandaugos išvestinė lygi

(f(x) \cdot g(x))' =f' (x) \cdot g(x)+g' (x) \cdot f(x);

funkcijų reiškinių dalmens išvestinė lygi

(\frac{f(x)}{g(x) })' =\frac {f' (x) \cdot g(x)-g' (x) \cdot f(x)}{g^2 (x) }.

Sudėtinės funkcijos reiškinio išvestinė lygi

(f(g(x)))' =f' (g(x))\cdot g' (x) (ši formulė pateikiama be įrodymo).

Aiškinamos elementariųjų funkcijų reiškinių išvestinės:

(x^n )' =n\cdot x^{n-1}, \ \ (e^x )' =e^x, \ \ (a^x )' =a^x\cdot \ln⁡(a), \ \ ((\ln(⁡x))' =\frac1x, \ \ (\log_a⁡(x) )' =\frac 1{x\cdot \ln(a)}.

Nagrinėjama riba

\lim \limits_ {x→0}⁡\frac {\sin⁡(x)}x=1

ir įsitikinama, kad

(\sin⁡(x))' =\cos(x), \ \ (\cos⁡(x) )' =-\sin⁡(x),\ \ (\tg⁡(x) )' =\frac 1{\cos^2 (x)}.

Naudojantis išvestinių skaičiavimo taisyklėmis ir formulėmis, mokomasi apskaičiuoti įvairių reiškinių ir funkcijų išvestines.

Funkcijos savybių tyrimas, naudojantis išvestine. Apibrėžiamos sąvokos: kritinis taškas, ekstremumo taškas, funkcijos ekstremumas, grafiko kritinis taškas, grafiko ekstremumo taškas.

Mokoma(si), naudojantis funkcijos išvestine, apskaičiuoti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes uždarame intervale.

Braižomas ne aukštesnio kaip ketvirtojo laipsnio funkcijos grafiko (y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, a,b,c,d,e∈\mathbb{R}) eskizas.

Naudojantis išvestine, sprendžiami optimizavimo uždaviniai.

Pirmykštė funkcija ir integralas.

Neapibrėžtinis integralas. Apibrėžiama funkcijos pirmykštė funkcija. Paaiškinama, kad funkcija turi be galo daug pirmykščių funkcijų, o visa jų šeima užrašoma naudojantis neapibrėžtinio integralo ženklu.

Įrodomos pirmykščių funkcijų savybės (funkcijų reiškinių sumos pirmykštės funkcijos, konstantos ir funkcijos reiškinio sandaugos pirmykštės, y=f(ax+b) pirmykštės funkcijos). Mokoma(si) jomis naudotis.

Apibrėžtinis integralas. Apibrėžiama kreivinės trapecijos (koordinačių plokštumos figūros, intervale [a; b] iš viršaus apribotos neneigiamos funkcijos grafiku, abscisių ašimi ir tiesėmis x=a, x=b) sąvoka.

Aiškinama(si), kad kreivinės trapecijos plotas nedaug skiriasi nuo ploto figūros, kuri sudaryta iš stačiakampių, kurių pagrindai yra intervalai, gauti padalijus intervalą [a; b] į daug lygių dalių, o kitų kraštinių ilgiai lygūs funkcijos reikšmėms dalijimo taškuose. Sudaromas šios figūros ploto reiškinys (integralinė suma), aiškinama(si), kad intervalų skaičiui augant, šių reiškinių reikšmės artėja prie skaičiaus, kuris vadinamas funkcijos apibrėžtiniu integralu intervale [a; b]. Jo reikšmė yra kreivinės trapecijos plotas. Paaiškinama, kad integralines sumas galima sudaryti ir nebūtinai neneigiamoms tolydžioms funkcijoms. Ribinė jų reikšmė vadinama funkcijos apibrėžtiniu integralu intervale [a; b].

Pateikiamos ir paaiškinamos apibrėžtinio integralo savybės:

∫_a^b(f(x)±g(x)) \mathrm{d}x=∫_a^bf(x) \mathrm{d}x±∫_a^bg(x) \mathrm{d}x, \ \ \ ∫_a^bkf(x) \mathrm{d}x=k∫_a^bf(x) \mathrm{d}x,

∫_a^bf(x) \mathrm{d}x=-∫_b^af(x) \mathrm{d}x, \ \ ∫_a^bf(x) \mathrm{d}x=∫_a^cf(x) \mathrm{d}x+∫_c^bf(x) \mathrm{d}x\ (c∈[a;b]),

∫_a^af(x) \mathrm{d}x=0.

Integralų taikymai. Pateikiama ir paaiškinama Niutono-Leibnico formulė

∫_a^bf(x) \mathrm{d}x=F(b)-F(a)

ir mokomasi ją taikyti, sprendžiant uždavinius, susijusius su kreivinių trapecijų plotais.

Pateikiama formulė, kuri naudojama, skaičiuojant sukinio tūrį, gauto sukant kreivę y=f(x),x∈[a;b], apie Ox ašį

V=π∫_a^bf^2 (x) \mathrm{d}x.

Sprendžiami įvairaus konteksto integralų taikymo uždaviniai.

Tiesės, plokštumos, kampai erdvėje.

Mokoma(si) stereometrijos aksiomų:

Mokoma(si) įrodyti teoremas:

per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias tieses eina vienintelė plokštuma; per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma.

Aptariamos erdvės tiesių ir plokštumų tarpusavio padėtys:

erdvės tiesės gali sutapti, kirstis, būti lygiagrečios, prasilenkiančios; plokštumos gali sutapti, būti lygiagrečios, susikertančios; plokštuma ir tiesė gali būti lygiagrečios, tiesė gali kirsti plokštumą, priklausyti plokštumai.

Nagrinėjami atstumai ir kampai erdvėje:

atstumai tarp dviejų taškų, taško ir tiesės, taško ir plokštumos, dviejų lygiagrečių ir prasilenkiančių tiesių, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejų lygiagrečių plokštumų; kampai tarp susikertančių ir tarp prasilenkiančių tiesių, tarp tiesės ir plokštumos.

Apibrėžiamas dvisienis kampas, mokoma(si) jį rasti bei pavaizduoti brėžinyje.

Apibrėžiama, kokia tiesė vadinama statmeniu plokštumai, įrodomas tiesės ir plokštumos statmenumo požymis.

Apibrėžiama pasviroji plokštumai ir jos statmenoji projekcija plokštumoje.

Įrodomas tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis. Įrodomos trijų statmenų ir jai atvirkštinė teoremos.

Nagrinėjami ir braižomi stereometrijos brėžiniai bei sprendžiami įvairūs uždaviniai.

Briaunainiai, sukiniai.

Klasifikuojami erdviniai kūnai.

Briaunainiai: stačiosios prizmės; piramidės (netaisyklingosios ir taisyklingosios), nupjautinės piramidės.

Sukiniai: ritiniai, kūgiai, nupjautiniai kūgiai, sferos, rutuliai ir rutulių nuopjovos.

Mokoma(si) šiuos erdvinius kūnus vaizduoti ir atpažinti.

Apibrėžiamos su erdviniais kūnais susijusios sąvokos: šoninis ir visas paviršius, pagrindas, aukštinė, apotema, sudaromoji, gretasienio įstrižainė; sukinių ašiniai pjūviai, kūgio, ritinio, piramidės pjūviai plokštumomis, lygiagrečiomis su pagrindais; taisyklingosios piramidės pjūviai, einantys per piramidės aukštinę; rutulio pjūviai; gretasienio pjūviai, einantys per gretasienio priešingas briaunas.

Mokoma(si) apskaičiuoti erdvinių kūnų paviršių plotus ir tūrius, jų pjūvių plotus, perimetrus ir atskirus elementus.

Sprendžiami įvairūs su briaunainiais ir sukiniais susiję uždaviniai.